Страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

961. 1) $tg\pi + \cos\pi;$

2) $tg0^\circ - tg 180^\circ;$

3) $tg\pi + \sin\pi;$

4) $\cos\pi - tg 2\pi.$

1) Для решения выражения $ \text{tg}\,\pi + \cos\pi $ найдем значения каждой тригонометрической функции. Угол $ \pi $ радиан соответствует $ 180^\circ $.

Значение тангенса угла $ \pi $ определяется по формуле $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Для угла $ \pi $: $ \sin\pi = 0 $ и $ \cos\pi = -1 $. Следовательно, $ \text{tg}\,\pi = \frac{0}{-1} = 0 $.

Значение косинуса угла $ \pi $ равно $ -1 $.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \text{tg}\,\pi + \cos\pi = 0 + (-1) = -1 $.

Ответ: -1

2) Для решения выражения $ \text{tg}\,0^\circ - \text{tg}\,180^\circ $ найдем значения каждого тангенса.

Значение тангенса угла $ 0^\circ $ равно 0. Это следует из того, что $ \sin 0^\circ = 0 $ и $ \cos 0^\circ = 1 $, поэтому $ \text{tg}\,0^\circ = \frac{0}{1} = 0 $.

Значение тангенса угла $ 180^\circ $ также равно 0. Это следует из того, что $ \sin 180^\circ = 0 $ и $ \cos 180^\circ = -1 $, поэтому $ \text{tg}\,180^\circ = \frac{0}{-1} = 0 $.

Теперь выполним вычитание:

$ \text{tg}\,0^\circ - \text{tg}\,180^\circ = 0 - 0 = 0 $.

Ответ: 0

3) Для решения выражения $ \text{tg}\,\pi + \sin\pi $ найдем значения каждой функции.

Как было определено в первом пункте, $ \text{tg}\,\pi = 0 $.

Значение синуса угла $ \pi $ (что соответствует $ 180^\circ $) равно $ 0 $.

Сложим полученные значения:

$ \text{tg}\,\pi + \sin\pi = 0 + 0 = 0 $.

Ответ: 0

4) Для решения выражения $ \cos\pi - \text{tg}\,2\pi $ найдем значения каждой функции.

Как было определено в первом пункте,

962. Найти значение выражения:

1) $3\sin\frac{\pi}{6} + 2\cos\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$;

2) $5\sin\frac{\pi}{4} + 3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} - 5\cos\frac{\pi}{4} - 10\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$;

3) $(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}) : \cos\frac{\pi}{6}$;

4) $\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$.

1) $3\sin\frac{\pi}{6}+2\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$

Для нахождения значения выражения подставим табличные значения тригонометрических функций:

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$3\sin\frac{\pi}{6}+2\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{3}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

2) $5\sin\frac{\pi}{4}+3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}-5\cos\frac{\pi}{4}-10\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$

Для нахождения значения выражения подставим табличные значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{4}$:

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$

$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$5\sin\frac{\pi}{4}+3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}-5\cos\frac{\pi}{4}-10\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot 1 - 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 10 \cdot 1$

Слагаемые $5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ взаимно уничтожаются. Остается:

$3 - 10 = -7$

Ответ: $-7$

3) $(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}):\cos\frac{\pi}{6}$

Для нахождения значения выражения подставим табличные значения тригонометрических функций:

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала вычислим значение выражения в скобках:

$2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь выполним деление:

$(-\frac{\sqrt{3}}{3}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

4) $\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$

Для нахождения значения выражения подставим табличные значения тригонометрических функций:

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2} - 1 = \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

963. Решить уравнение:

1) $2\sin x = 0$;

2) $\frac{1}{2}\cos x = 0$;

3) $\cos x - 1 = 0$;

4) $1 - \sin x = 0$.

1) Исходное уравнение: $2\sin x = 0$. Чтобы решить это уравнение, разделим обе его части на 2. Получим простейшее тригонометрическое уравнение:
$\sin x = \frac{0}{2}$
$\sin x = 0$
Это частный случай решения тригонометрических уравнений. Синус равен нулю, когда его аргумент $x$ равен целому числу полуоборотов, то есть $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots$. Общая формула для всех корней этого уравнения записывается как $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{1}{2}\cos x = 0$. Для решения умножим обе части уравнения на 2:
$\cos x = 0 \cdot 2$
$\cos x = 0$
Это также частный случай. Косинус равен нулю, когда его аргумент $x$ равен $\frac{\pi}{2}$ плюс целое число полуоборотов ($\pi$), то есть в точках $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$. Общая формула для всех корней имеет вид: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\cos x - 1 = 0$. Чтобы решить его, перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:
$\cos x = 1$
Это частный случай. Косинус равен единице, когда его аргумент $x$ равен целому числу полных оборотов ($2\pi$), то есть в точках $0, 2\pi, 4\pi, \ldots$. Общая формула для всех решений записывается как: $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $1 - \sin x = 0$. Перенесем $\sin x$ в правую часть уравнения:
$1 = \sin x$
$\sin x = 1$
Это частный случай. Синус равен единице, когда его аргумент $x$ равен $\frac{\pi}{2}$ плюс целое число полных оборотов ($2\pi$). Общая формула для всех решений: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

964. Выяснить, может ли $ \sin \alpha $ быть равным:

1) $0,049$;

2) $-0,875$;

3) $-\sqrt{2}$;

4) $2+\sqrt{2}$.

Для решения этой задачи необходимо использовать основное свойство тригонометрической функции синус. Область значений функции $y = \sin \alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ значение его синуса должно удовлетворять двойному неравенству: $$-1 \le \sin \alpha \le 1$$. Проверим каждое из предложенных значений на соответствие этому условию.

1) 0,049
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le 0,049 \le 1$.
Это неравенство верно, так как число 0,049 положительно и меньше 1, следовательно, оно принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Значит, $\sin \alpha$ может принимать такое значение.
Ответ: может.

2) -0,875
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -0,875 \le 1$.
Это неравенство верно, так как число -0,875 больше -1 и меньше 1. Таким образом, оно принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Значит, $\sin \alpha$ может принимать такое значение.
Ответ: может.

3) $-\sqrt{2}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -\sqrt{2} \le 1$.
Известно, что $2 > 1$. Из этого следует, что $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{2} > 1$.
Если умножить обе части неравенства $\sqrt{2} > 1$ на -1, то знак неравенства изменится на противоположный: $-\sqrt{2} < -1$.
Поскольку значение $-\sqrt{2}$ (приблизительно -1,414) меньше -1, оно не входит в область значений синуса.
Значит, $\sin \alpha$ не может принимать такое значение.
Ответ: не может.

4) $2+\sqrt{2}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le 2+\sqrt{2} \le 1$.
Так как $\sqrt{2} > 0$, то сумма $2+\sqrt{2}$ будет больше 2.
Поскольку $2 > 1$, то и $2+\sqrt{2} > 1$.
Значение $2+\sqrt{2}$ (приблизительно 3,414) больше 1, следовательно, оно не входит в область значений синуса.
Значит, $\sin \alpha$ не может принимать такое значение.
Ответ: не может.

965. Найти значение выражения:

1) $0.5 \cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha \text{ при } \alpha = 60^\circ;$

2) $\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \text{ при } \alpha = \frac{\pi}{2}.$

1) Для нахождения значения выражения $0,5\cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha$ при $\alpha = 60^\circ$, необходимо подставить данное значение угла в выражение.

Сначала найдем значения синуса и косинуса для угла $60^\circ$:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0,5$

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$0,5 \cdot \cos(60^\circ) - \sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 0,5 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполним вычисления:

$0,5 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{5}{4} = -1,25$

Ответ: $-1,25$

2) Для нахождения значения выражения $\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}$ при $\alpha = \frac{\pi}{2}$, сначала определим значение аргумента $\frac{\alpha}{2}$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$

Теперь выражение принимает вид:

$\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{4})$

Найдем значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$):

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения и выполним сложение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

966. Найти значение выражения:

1) $\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6}$;

2) $2\text{tg}^2\frac{\pi}{3} - \text{ctg}^2\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}$.

1) Для нахождения значения выражения $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} $ необходимо использовать табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов.

Вспомним значения:

• $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
• $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
• $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
• $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $

Выполним умножение:

$ \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{2 - 3}{4} = -\frac{1}{4} $

Ответ: $ -\frac{1}{4} $.

2) Для нахождения значения выражения $ 2\tg^2\frac{\pi}{3} - \ctg^2\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} $ также воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Вспомним значения:

• $ \tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $
• $ \ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $
• $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $
• $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $

Подставим эти значения в выражение, помня, что $ \tg^2\alpha = (\tg\alpha)^2 $ и $ \ctg^2\alpha = (\ctg\alpha)^2 $:

$ 2\left(\tg\frac{\pi}{3}\right)^2 - \left(\ctg\frac{\pi}{6}\right)^2 - \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} = 2(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} $

Выполним вычисления по порядку:

$ 2 \cdot 3 - 3 - \frac{1}{4} = 6 - 3 - \frac{1}{4} $

Продолжим упрощение:

$ 3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4} $

Ответ: $ \frac{11}{4} $.

967. Решить уравнение:

1) $sin x = -1;$

2) $cos x = -1;$

3) $sin 3x = 0;$

4) $cos 0,5x = 0;$

5) $sin \left(\frac{x}{2} + 6\pi\right) = 1;$

6) $cos(5x + 4\pi) = 1.$

1) Дано уравнение $\sin x = -1$. Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решением являются значения угла $x$, при которых синус равен -1. На единичной окружности это соответствует точке с наименьшей ординатой, то есть углу $-\frac{\pi}{2}$. Так как функция синуса периодическая с периодом $2\pi$, то все решения уравнения можно записать в виде формулы: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\cos x = -1$. Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решением являются значения угла $x$, при которых косинус равен -1. На единичной окружности это соответствует точке с наименьшей абсциссой, то есть углу $\pi$. Так как функция косинуса периодическая с периодом $2\pi$, то все решения уравнения можно записать в виде формулы: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin 3x = 0$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент кратен $\pi$. Следовательно, аргумент $3x$ должен быть равен $\pi k$: $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3: $x = \frac{\pi k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $\cos 0,5x = 0$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю, когда его аргумент имеет вид $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Следовательно, аргумент $0,5x$ должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$: $0,5x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2: $x = 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k) = \pi + 2\pi k$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $\sin(\frac{x}{2} + 6\pi) = 1$. Функция синуса имеет период $2\pi$, это означает, что $\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha)$ для любого целого $n$. Поскольку $6\pi$ является кратным $2\pi$ ($6\pi = 3 \cdot 2\pi$), мы можем упростить уравнение, отбросив $6\pi$: $\sin(\frac{x}{2}) = 1$. Это частный случай, синус равен 1, когда его аргумент имеет вид $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2: $x = 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \pi + 4\pi k$.
Ответ: $x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $\cos(5x + 4\pi) = 1$. Функция косинуса имеет период $2\pi$, это означает, что $\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)$ для любого целого $n$. Поскольку $4\pi$ является кратным $2\pi$ ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$), мы можем упростить уравнение, отбросив $4\pi$: $\cos(5x) = 1$. Это частный случай, косинус равен 1, когда его аргумент кратен $2\pi$. $5x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на 5: $x = \frac{2\pi k}{5}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

968. Используя микрокалькулятор, проверить равенство:

1) $\sin 60^\circ \approx 0,866$;

2) $\cos 45^\circ \approx 0,707$;

3) $\cos \frac{\pi}{5} \approx 0,966$;

4) $\sin \frac{\pi}{13} \approx 0,225$.

1) Для проверки равенства $ \sin 60^\circ \approx 0,866 $ необходимо использовать микрокалькулятор.
Сначала убедимся, что калькулятор настроен на работу с градусами (режим DEG или ГРАД).
Далее вводим операцию вычисления синуса от 60.
На дисплее калькулятора появится число: $ \sin 60^\circ \approx 0,8660254... $
Округляя это значение до трёх знаков после запятой, мы получаем $0,866$.
Сравнение с предложенным значением показывает, что равенство верно.
Также можно проверить через точное табличное значение: $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1,73205}{2} = 0,866025 \approx 0,866 $.
Ответ: Равенство верно.

2) Для проверки равенства $ \cos 45^\circ \approx 0,707 $ также используем калькулятор в режиме градусов (DEG).
Вводим операцию вычисления косинуса от 45.
Калькулятор покажет результат: $ \cos 45^\circ \approx 0,7071067... $
Округлим результат до трёх знаков после запятой и получим $0,707$.
Это совпадает с предложенным в задании значением, следовательно, равенство верно.
Проверка через точное значение: $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1,41421}{2} = 0,707105 \approx 0,707 $.
Ответ: Равенство верно.

3) Проверим равенство $ \cos\frac{\pi}{5} \approx 0,966 $.
В данном случае угол задан в радианах. Необходимо переключить калькулятор в радианный режим (RAD или РАД).
Вычисляем значение $ \cos(\pi/5) $. Для этого можно сначала разделить $ \pi $ (приблизительно $3,14159$) на 5, а затем найти косинус от полученного числа.
$ \frac{\pi}{5} \approx \frac{3,14159}{5} \approx 0,628318 $ радиан.
$ \cos(0,628318) \approx 0,809017... $
Округляя до трёх знаков после запятой, получаем $0,809$.
Полученное значение $0,809$ не совпадает с $0,966$. Разница между ними существенна.
Вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Например, $ \cos(\frac{\pi}{12}) \approx 0,9659... \approx 0,966 $. Однако, при проверке заданного равенства, мы должны констатировать его неверность.
Ответ: Равенство неверно.

4) Проверим равенство $ \sin\frac{\pi}{13} \approx 0,225 $.
Угол также задан в радианах, поэтому используем калькулятор в режиме RAD.
Вычисляем значение $ \sin(\pi/13) $.
$ \frac{\pi}{13} \approx \frac{3,14159}{13} \approx 0,24166 $ радиан.
$ \sin(0,24166) \approx 0,239249... $
Округляя до трёх знаков после запятой, получаем $0,239$.
Это значение не равно $0,225$.
Возможно, и здесь есть опечатка. Значение $0,225$ очень близко к $ \sin 13^\circ \approx 0,22495... $, но в задании угол дан в радианах. Исходя из условия, равенство не выполняется.
Ответ: Равенство неверно.

969. Вычислить с точностью до 0,01, используя микрокалькулятор:

1) $ \cos 4,81 $;

2) $ \cos 45^{\circ}12' $;

3) $ \cos \frac{10}{7}\pi $;

4) $ \sin \frac{19}{9}\pi $.

Для решения данной задачи необходимо использовать калькулятор и округлить полученные значения до сотых (с точностью до 0,01).

1)

Требуется вычислить $ \cos(4,81) $.
Поскольку в аргументе косинуса отсутствует знак градуса (°), это означает, что угол задан в радианах. Необходимо убедиться, что калькулятор переключен в режим вычислений в радианах (RAD).
Вводим в калькулятор и вычисляем:
$ \cos(4,81) \approx 0,10335... $
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. Это цифра 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону (оставляем сотые без изменений).
$ 0,10335... \approx 0,10 $.
Ответ: 0,10.

2)

Требуется вычислить $ \cos(45°12') $.
Аргумент косинуса задан в градусах и минутах. Для вычисления на большинстве калькуляторов необходимо перевести минуты в десятичные доли градуса. Необходимо убедиться, что калькулятор переключен в режим вычислений в градусах (DEG).
Зная, что в одном градусе 60 минут ($ 1° = 60' $), переведем 12 минут в градусы:
$ 12' = \frac{12}{60}° = 0,2° $.
Таким образом, искомый угол равен $ 45° + 0,2° = 45,2° $.
Вычисляем на калькуляторе:
$ \cos(45,2°) \approx 0,70460... $
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой - 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону.
$ 0,70460... \approx 0,70 $.
Ответ: 0,70.

3)

Требуется вычислить $ \cos(\frac{10}{7}\pi) $.
Аргумент косинуса задан в радианах, так как содержит число $ \pi $. Калькулятор должен быть в режиме RAD.
Вычисляем значение выражения:
$ \cos(\frac{10\pi}{7}) \approx -0,22252... $
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой - 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону (по модулю).
$ -0,22252... \approx -0,22 $.
Ответ: -0,22.

4)

Требуется вычислить $ \sin(\frac{19}{9}\pi) $.
Аргумент синуса задан в радианах. Калькулятор должен быть в режиме RAD.
Для упрощения вычислений можно воспользоваться свойством периодичности синуса. Период функции синус равен $ 2\pi $.
Представим аргумент в виде:
$ \frac{19\pi}{9} = \frac{18\pi + \pi}{9} = \frac{18\pi}{9} + \frac{\pi}{9} = 2\pi + \frac{\pi}{9} $.
Таким образом, $ \sin(\frac{19\pi}{9}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{\pi}{9}) $.
Вычисляем на калькуляторе:
$ \sin(\frac{\pi}{9}) \approx 0,34202... $
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой - 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону.
$ 0,34202... \approx 0,34 $.
Ответ: 0,34.

970. Выяснить, что больше:

1) $\sin 20^\circ$ или $\sin 20^\circ \cdot \operatorname{tg} 40^\circ$;

2) $\cos 42^\circ$ или $\cos 42^\circ \cdot \operatorname{tg} 48^\circ$.

1) Сравним выражения $sin 20^\circ$ и $sin 20^\circ \cdot tg 40^\circ$.

Оба выражения содержат общий множитель $sin 20^\circ$. Угол $20^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 20^\circ < 90^\circ$), где синус положителен. Значит, $sin 20^\circ > 0$.

Так как общий множитель положителен, знак сравнения будет зависеть от второго множителя, $tg 40^\circ$, в сравнении с единицей. Если $tg 40^\circ > 1$, то второе выражение больше. Если $tg 40^\circ < 1$, то первое выражение больше.

Рассмотрим функцию тангенса. В первой четверти она возрастает. Нам известно, что $tg 45^\circ = 1$.

Поскольку $40^\circ < 45^\circ$, и тангенс — возрастающая функция на этом интервале, то $tg 40^\circ < tg 45^\circ$. Следовательно, $tg 40^\circ < 1$.

Умножая положительное число $sin 20^\circ$ на число, которое меньше единицы ($tg 40^\circ$), мы получаем произведение, которое меньше исходного числа $sin 20^\circ$.

Таким образом, $sin 20^\circ \cdot tg 40^\circ < sin 20^\circ$.

Ответ: $sin 20^\circ$ больше, чем $sin 20^\circ \cdot tg 40^\circ$.

2) Сравним выражения $cos 42^\circ$ и $cos 42^\circ \cdot tg 48^\circ$.

Общим множителем является $cos 42^\circ$. Угол $42^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 42^\circ < 90^\circ$), где косинус положителен. Значит, $cos 42^\circ > 0$.

Так как общий множитель положителен, сравнение сводится к сравнению $1$ и $tg 48^\circ$.

Функция тангенса возрастает в первой четверти. Мы знаем, что $tg 45^\circ = 1$.

Поскольку $48^\circ > 45^\circ$, и тангенс — возрастающая функция на этом интервале, то $tg 48^\circ > tg 45^\circ$. Следовательно, $tg 48^\circ > 1$.

Умножая положительное число $cos 42^\circ$ на число, которое больше единицы ($tg 48^\circ$), мы получаем произведение, которое больше исходного числа $cos 42^\circ$.

Таким образом, $cos 42^\circ \cdot tg 48^\circ > cos 42^\circ$.

Ответ: $cos 42^\circ \cdot tg 48^\circ$ больше, чем $cos 42^\circ$.

971. Доказать, что всякая хорда единичной окружности равна удвоенному синусу половины центрального угла, соответствующего этой хорде.

Пусть дана единичная окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R=1$.

Рассмотрим произвольную хорду $AB$ этой окружности. Соединив концы хорды с центром окружности, получим равнобедренный треугольник $\triangle OAB$, так как его боковые стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами, и, следовательно, $OA = OB = 1$.

Центральный угол, соответствующий хорде $AB$ (или стягиваемый ею), — это угол $\angle AOB$. Обозначим его величину как $\alpha$.

Проведём из вершины $O$ высоту $OH$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой и медианой.

Как биссектриса, $OH$ делит угол $\angle AOB$ пополам:

$\angle AOH = \angle BOH = \frac{\alpha}{2}$

Как медиана, $OH$ делит хорду $AB$ пополам:

$AH = HB = \frac{AB}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOH$ (угол $\angle OHA = 90^\circ$). По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle AOH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{OA}$

Подставим в эту формулу известные нам значения: гипотенуза $OA=1$ (так как это радиус единичной окружности) и $\angle AOH = \frac{\alpha}{2}$.

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AH}{1}$

Отсюда следует, что длина отрезка $AH$ равна $\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Поскольку длина всей хорды $AB$ в два раза больше длины её половины $AH$, мы получаем:

$AB = 2 \cdot AH = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Таким образом, мы доказали, что всякая хорда единичной окружности равна удвоенному синусу половины центрального угла, соответствующего этой хорде. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Длина хорды $l$ единичной окружности действительно равна удвоенному синусу половины соответствующего ей центрального угла $\alpha$, что выражается формулой $l = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$.

972. Сравнить с нулём разность:

1) $\cos \left(3 \operatorname{tg}^{2} \frac{\pi}{6}\right)-\operatorname{ctg} 1;$

2) $\operatorname{tg} 1-\sin \left(2 \cos \frac{\pi}{3}\right).$

1) Сравнить с нулём разность $ \cos(3\text{tg}^2\frac{\pi}{6}) - \text{ctg}1 $.

Сначала упростим аргумент косинуса. Найдём значение $ \text{tg}\frac{\pi}{6} $:
$ \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} $
Тогда $ \text{tg}^2\frac{\pi}{6} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} $.
Теперь можем вычислить весь аргумент:
$ 3\text{tg}^2\frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 $.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \cos(1) - \text{ctg}1 $

Представим котангенс через синус и косинус: $ \text{ctg}1 = \frac{\cos1}{\sin1} $.
Подставим это в выражение и приведём к общему знаменателю:
$ \cos1 - \frac{\cos1}{\sin1} = \frac{\cos1 \cdot \sin1 - \cos1}{\sin1} = \frac{\cos1(\sin1 - 1)}{\sin1} $

Теперь оценим знак полученного выражения. Угол в 1 радиан находится в первой четверти, так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} $ (поскольку $ \pi \approx 3.14 $, то $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $). Для угла в первой четверти справедливы неравенства: $ \cos1 > 0 $ и $ \sin1 > 0 $.
Также известно, что значение синуса любого угла не превышает 1, то есть $ \sin x \le 1 $. Равенство достигается только при $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ - целое число. Поскольку $ 1 \ne \frac{\pi}{2} $, то $ \sin1 < 1 $. Следовательно, разность $ \sin1 - 1 < 0 $.

Определим знак всего выражения $ \frac{\cos1(\sin1 - 1)}{\sin1} $. В числителе находится произведение положительного числа ($ \cos1 $) и отрицательного числа ($ \sin1 - 1 $), поэтому числитель отрицателен. В знаменателе стоит положительное число ($ \sin1 $). Деление отрицательного числа на положительное даёт отрицательный результат.
$ \frac{(+)\cdot(-)}{(+)} < 0 $
Таким образом, разность $ \cos(3\text{tg}^2\frac{\pi}{6}) - \text{ctg}1 $ меньше нуля.

Ответ: $ \cos(3\text{tg}^2\frac{\pi}{6}) - \text{ctg}1 < 0 $.

2) Сравнить с нулём разность $ \text{tg}1 - \sin(2\cos\frac{\pi}{3}) $.

Сначала упростим аргумент синуса. Найдём значение $ \cos\frac{\pi}{3} $:
$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $
Теперь можем вычислить весь аргумент:
$ 2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \text{tg}1 - \sin1 $

Представим тангенс через синус и косинус: $ \text{tg}1 = \frac{\sin1}{\cos1} $.
Подставим это в выражение и приведём к общему знаменателю:
$ \frac{\sin1}{\cos1} - \sin1 = \frac{\sin1 - \sin1 \cdot \cos1}{\cos1} = \frac{\sin1(1 - \cos1)}{\cos1} $

Теперь оценим знак полученного выражения. Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} $). Для такого угла $ \sin1 > 0 $ и $ \cos1 > 0 $.
Также известно, что значение косинуса любого угла (кроме $ 2\pi k $, где $k$ - целое) строго меньше 1, то есть $ \cos x < 1 $ для $ x \ne 2\pi k $. Поскольку $ 1 \ne 2\pi k $, то $ \cos1 < 1 $. Следовательно, разность $ 1 - \cos1 > 0 $.

Определим знак всего выражения $ \frac{\sin1(1 - \cos1)}{\cos1} $. В числителе находится произведение двух положительных чисел ($ \sin1 $ и $ 1 - \cos1 $), поэтому числитель положителен. В знаменателе стоит положительное число ($ \cos1 $). Деление положительного числа на положительное даёт положительный результат.
$ \frac{(+)\cdot(+)}{(+)} > 0 $
Таким образом, разность $ \text{tg}1 - \sin(2\cos\frac{\pi}{3}) $ больше нуля.

Ответ: $ \text{tg}1 - \sin(2\cos\frac{\pi}{3}) > 0 $.