Страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

противоположных концах диаметра, начинают двигаться по

окружности в одном направлении.

Точка А в каждую минуту описывает дугу в $60^\circ$, точка В — дугу в

$48^\circ$. Через сколько минут после

начала движения произойдёт первое; второе; $k$-е совпадение точек?

954. Две точки А и В, находящиеся

на концах взаимно перпендикулярных диаметров окружности

(рис. 113), начинают одновременно двигаться по окружности: точка А — по часовой стрелке,

описывая каждую минуту дугу в $20^\circ$, точка В — против часовой стрелки, описывая каждую минуту дугу в $25^\circ$. Через

сколько минут произойдёт первое; второе; $k$-е совпадение

точек?

Для решения задачи введем систему координат с центром в точке O, как показано на рисунке. Угловое положение точек будем отсчитывать от положительного направления оси x против часовой стрелки. Вся окружность составляет $360^\circ$.

Начальные положения точек в момент времени $t=0$:

• Точка A находится на оси x, ее начальное угловое положение $\alpha_A(0) = 0^\circ$.
• Точка B находится на оси y, ее начальное угловое положение $\alpha_B(0) = 90^\circ$.

Скорости движения точек:

• Точка A движется по часовой стрелке, описывая дугу $20^\circ$ в минуту. Ее угловая скорость $\omega_A = -20^\circ/\text{мин}$ (знак минус, так как движение по часовой стрелке противоположно принятому положительному направлению).
• Точка B движется против часовой стрелки, описывая дугу $25^\circ$ в минуту. Ее угловая скорость $\omega_B = 25^\circ/\text{мин}$.

Угловое положение каждой точки в произвольный момент времени t (в минутах) определяется по формуле $\alpha(t) = \alpha(0) + \omega t$:

• Для точки A: $\alpha_A(t) = 0^\circ + (-20^\circ/\text{мин}) \cdot t = -20t$
• Для точки B: $\alpha_B(t) = 90^\circ + (25^\circ/\text{мин}) \cdot t = 90 + 25t$

Совпадение (встреча) точек произойдет, когда их угловые положения станут равными. Так как движение происходит по окружности, их положения совпадают, если разница их углов кратна полному обороту ($360^\circ$). Запишем условие совпадения:

$\alpha_B(t) = \alpha_A(t) + n \cdot 360^\circ$, где n — любое целое число.

Подставим выражения для положений точек в это уравнение:

$90 + 25t = -20t + n \cdot 360$

Перенесем слагаемые с t в левую часть, а постоянные — в правую:

$25t + 20t = n \cdot 360 - 90$

$45t = n \cdot 360 - 90$

Разделим обе части уравнения на 45, чтобы выразить t:

$t = \frac{n \cdot 360}{45} - \frac{90}{45}$

$t = 8n - 2$

Время движения t должно быть положительным ($t > 0$). Найдем, при каких целых n это условие выполняется:

$8n - 2 > 0 \implies 8n > 2 \implies n > \frac{1}{4}$

Поскольку n — целое число, его наименьшее возможное значение, удовлетворяющее этому условию, равно 1. Таким образом, последовательные совпадения будут происходить при $n = 1, 2, 3, \ldots$.

первое совпадение:

Первое совпадение соответствует наименьшему положительному значению времени t. Оно достигается при наименьшем возможном целом n, то есть при $n = 1$.

$t_1 = 8 \cdot 1 - 2 = 6$

Ответ: через 6 минут.

второе совпадение:

Второе совпадение соответствует следующему значению n, то есть $n = 2$.

$t_2 = 8 \cdot 2 - 2 = 16 - 2 = 14$

Ответ: через 14 минут.

k-е совпадение:

Аналогично, k-е по счету совпадение точек произойдет при $n = k$, где $k$ - натуральное число ($k = 1, 2, 3, \ldots$).

$t_k = 8k - 2$

Ответ: через $8k-2$ минут (где $k \in \mathbb{N}$).

955. Выразить румб:

1) в градусах и минутах;

2) в радианах.

Румб — это угловая единица, используемая в морской навигации. Полная окружность, составляющая $360^\circ$, делится на 32 румба.

Для начала найдем величину одного румба в градусах:
$1 \text{ румб} = \frac{360^\circ}{32} = \frac{45^\circ}{4} = 11.25^\circ$

1) в градусах и минутах

Мы получили, что $1 \text{ румб} = 11.25^\circ$. Целая часть этого значения — $11$ градусов. Дробную часть, $0.25^\circ$, нужно перевести в минуты.
Зная, что в одном градусе содержится 60 угловых минут ($1^\circ = 60'$), выполним перевод:
$0.25^\circ = 0.25 \cdot 60' = \frac{1}{4} \cdot 60' = 15'$
Таким образом, $11.25^\circ$ равны $11$ градусам и $15$ минутам.

Ответ: $11^\circ 15'$.

2) в радианах

Полная окружность ($360^\circ$) равна $2\pi$ радиан. Так как полная окружность также равна 32 румбам, мы можем установить соотношение:
$32 \text{ румба} = 2\pi \text{ радиан}$
Чтобы найти величину одного румба в радианах, разделим обе части равенства на 32:
$1 \text{ румб} = \frac{2\pi}{32} \text{ радиан} = \frac{\pi}{16} \text{ радиан}$

Ответ: $\frac{\pi}{16}$ радиан.

956. Для измерения географической долготы места используют особую единицу, называемую часом. Час долготы равен $\frac{1}{24}$ части полного угла ($360^\circ$), на который поворачивается Земля за сутки. Один час содержит 60 мин, а каждая минута содержит 60 с. Выразить 1 ч, 1 мин и 1 с долготы в градусах, минутах и секундах дуги.

В основе решения лежит тот факт, что Земля совершает полный оборот на $360^\circ$ за 24 часа. Для измерения долготы используется специальная система, основанная на времени.

1 ч

По условию, 1 час долготы (1 ч) — это $\frac{1}{24}$ часть полного оборота Земли. Полный оборот составляет $360^\circ$ дуги. Следовательно, чтобы выразить 1 час долготы в градусах, нужно разделить $360^\circ$ на 24. $$1 \text{ ч} = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$$ Это означает 15 градусов, 0 минут и 0 секунд дуги.

Ответ: 1 час долготы равен $15^\circ$.

1 мин

Один час долготы (1 ч) содержит 60 минут долготы (60 мин). Мы уже вычислили, что $1 \text{ ч} = 15^\circ$. Чтобы найти, чему равна 1 минута долготы в градусной мере, нужно разделить значение часа долготы на 60. $$1 \text{ мин} = \frac{15^\circ}{60} = \frac{1}{4}^\circ = 0.25^\circ$$ Для перевода градусов в минуты дуги, нужно умножить значение на 60, так как $1^\circ = 60'$. $$0.25^\circ = 0.25 \times 60' = 15'$$ Это означает 0 градусов, 15 минут и 0 секунд дуги.

Ответ: 1 минута долготы равна $15'$ (пятнадцати минутам дуги).

1 с

Одна минута долготы (1 мин) содержит 60 секунд долготы (60 с). Мы уже знаем, что $1 \text{ мин} = 15'$. Чтобы найти, чему равна 1 секунда долготы в градусной мере, нужно разделить значение минуты долготы на 60. $$1 \text{ с} = \frac{15'}{60} = \frac{1}{4}' = 0.25'$$ Для перевода минут дуги в секунды дуги, нужно умножить значение на 60, так как $1' = 60''$. $$0.25' = 0.25 \times 60'' = 15''$$ Это означает 0 градусов, 0 минут и 15 секунд дуги.

Ответ: 1 секунда долготы равна $15''$ (пятнадцати секундам дуги).