Страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

973. Выяснить, в какой четверти находится точка, полученная поворотом точки P(1; 0) на угол α, если:

1) $ \alpha = \frac{3\pi}{4}; $

2) $ \alpha = -\frac{3\pi}{4}; $

3) $ \alpha = -\frac{7\pi}{4}; $

4) $ \alpha = 4,8. $

Для определения, в какой четверти находится точка после поворота, мы анализируем величину угла $\alpha$ в радианах. Координатная плоскость делится на четыре четверти:

• I четверть: угол от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ (от $0$ до $\approx 1,57$ рад)
• II четверть: угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ (от $\approx 1,57$ до $\approx 3,14$ рад)
• III четверть: угол от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ (от $\approx 3,14$ до $\approx 4,71$ рад)
• IV четверть: угол от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ (от $\approx 4,71$ до $\approx 6,28$ рад)

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке от положительного направления оси Ox.

1) $\alpha = \frac{3\pi}{4}$

Чтобы определить четверть, сравним угол $\alpha$ с граничными значениями. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$ и $\pi = \frac{4\pi}{4}$. Так как выполняется неравенство $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, то угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

2) $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$

Данный угол отрицателен. Чтобы найти эквивалентный ему положительный угол в пределах от $0$ до $2\pi$, прибавим $2\pi$: $\alpha' = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Теперь сравним полученный угол $\alpha'$ с границами четвертей. Мы знаем, что $\pi = \frac{4\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$. Так как выполняется неравенство $\frac{4\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} < \frac{6\pi}{4}$, то есть $\pi < \alpha' < \frac{3\pi}{2}$, то угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

3) $\alpha = -\frac{7\pi}{4}$

Угол отрицателен. Найдем соответствующий ему положительный угол, прибавив $2\pi$: $\alpha' = -\frac{7\pi}{4} + 2\pi = -\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$. Угол $\alpha' = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, значит, он находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

4) $\alpha = 4,8$

Угол задан в радианах. Используем приближенные значения для границ четвертей: $\pi \approx 3,14159$. $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$
$\pi \approx 3,14$
$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$
$2\pi \approx 6,28$
Сравниваем значение $\alpha = 4,8$ с этими границами. Мы видим, что $4,71 < 4,8 < 6,28$. Это соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что означает, что угол находится в четвертой четверти.
Ответ: IV четверть.

974. Пусть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Выяснить, в какой четверти находится точка, полученная поворотом точки P(1; 0) на угол:

1) $\frac{\pi}{2} - \alpha$;

2) $\alpha - \pi$;

3) $\frac{\pi}{2} + \alpha$;

4) $\pi - \alpha$.

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в I-й четверти, то есть выполняется неравенство $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Для определения четверти, в которой находится точка после поворота на заданный угол, необходимо оценить диапазон значений этого угла. На тригонометрической окружности I-я четверть соответствует углам от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, II-я четверть — от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, III-я четверть — от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$, а IV-я четверть — от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ (или от $-\frac{\pi}{2}$ до $0$).

1) $\frac{\pi}{2} - \alpha$;

Начнем с исходного неравенства: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$.
Теперь прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям полученного неравенства:
$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} + 0$
$0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}$
Поскольку полученный угол находится в интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, точка расположена в I-й четверти.

Ответ: I-я четверть.

2) $\alpha - \pi$;

Начнем с исходного неравенства: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Вычтем $\pi$ из всех частей неравенства:
$0 - \pi < \alpha - \pi < \frac{\pi}{2} - \pi$
$-\pi < \alpha - \pi < -\frac{\pi}{2}$
Диапазон углов от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$ соответствует III-й четверти. Чтобы это увидеть, можно прибавить к границам интервала $2\pi$ для получения эквивалентных положительных углов: $\pi < \alpha - \pi + 2\pi < \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: III-я четверть.

3) $\frac{\pi}{2} + \alpha$;

Начнем с исходного неравенства: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства:
$\frac{\pi}{2} + 0 < \frac{\pi}{2} + \alpha < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi$
Поскольку полученный угол находится в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, точка расположена во II-й четверти.

Ответ: II-я четверть.

4) $\pi - \alpha$.

Начнем с исходного неравенства: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$.
Теперь прибавим $\pi$ ко всем частям полученного неравенства:
$\pi - \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi + 0$
$\frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$
Поскольку полученный угол находится в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, точка расположена во II-й четверти.

Ответ: II-я четверть.

975. Определить знак числа $\sin \alpha$, если:

1) $\alpha = \frac{33\pi}{7};$

2) $\alpha = -0,1\pi;$

3) $\alpha = 5,1;$

4) $\alpha = -470^\circ.$

Для определения знака $\sin \alpha$ необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Знак синуса по четвертям:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\sin \alpha > 0$ (плюс)
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0$ (плюс)
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\sin \alpha < 0$ (минус)
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0$ (минус)

1) $\alpha = \frac{33\pi}{7}$

Чтобы определить четверть, упростим угол, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$). Период функции синус равен $2\pi$.

$\alpha = \frac{33\pi}{7} = \frac{28\pi + 5\pi}{7} = \frac{28\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} = 4\pi + \frac{5\pi}{7} = 2 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{7}$.

Отбросив полные обороты ($2 \cdot 2\pi$), получим угол $\frac{5\pi}{7}$. Знак $\sin(\frac{33\pi}{7})$ совпадает со знаком $\sin(\frac{5\pi}{7})$.

Сравним угол $\frac{5\pi}{7}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$.

Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$, угол находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен.

Ответ: знак плюс (+).

2) $\alpha = -0,1\pi$

Отрицательный угол означает движение по часовой стрелке от начальной точки на тригонометрической окружности. Сравним угол с границами четвертей:

$-\frac{\pi}{2} < -0,1\pi < 0$.

Это соответствует четвертой четверти. В четвертой четверти синус отрицателен.

Ответ: знак минус (−).

3) $\alpha = 5,1$

Угол дан в радианах. Сравним его значение с приближенными значениями границ четвертей, используя $\pi \approx 3,14159$.

$\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.

Видим, что $4,71 < 5,1 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5,1 < 2\pi$.

Угол находится в четвертой четверти. В четвертой четверти синус отрицателен.

Ответ: знак минус (−).

4) $\alpha = -470^{\circ}$

Угол дан в градусах. Период синуса равен $360^{\circ}$. Найдем эквивалентный угол в промежутке от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$ путем прибавления полных оборотов.

$\sin(-470^{\circ}) = \sin(-470^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ}) = \sin(-470^{\circ} + 720^{\circ}) = \sin(250^{\circ})$.

Теперь определим четверть для угла $250^{\circ}$.

$180^{\circ} < 250^{\circ} < 270^{\circ}$.

Угол находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен.

Ответ: знак минус (−).

976. Определить знак числа cosα, если:

1) $\alpha = \frac{7}{6}\pi$;

2) $\alpha = 4.6$;

3) $\alpha = -5.3$;

4) $\alpha = -150^{\circ}$.

Чтобы определить знак числа $ \cos \alpha $, нужно определить, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $. Знак косинуса (который соответствует координате x на единичной окружности) определяется следующим образом:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ или $0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $ \cos \alpha > 0 $ (знак плюс)
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ или $90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $ \cos \alpha < 0 $ (знак минус)
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ или $180^\circ < \alpha < 270^\circ$): $ \cos \alpha < 0 $ (знак минус)
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ или $270^\circ < \alpha < 360^\circ$): $ \cos \alpha > 0 $ (знак плюс)

1) $ \alpha = \frac{7\pi}{6} $

Угол дан в радианах. Чтобы определить четверть, сравним значение угла с границами четвертей, выраженными в долях $ \pi $.

Мы знаем, что $ \pi = \frac{6\pi}{6} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} $.

Сравнивая, получаем неравенство: $ \pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} $.

Это означает, что угол $ \alpha = \frac{7\pi}{6} $ находится в III координатной четверти.

В III четверти косинус отрицателен.

Ответ: минус.

2) $ \alpha = 4,6 $

Угол дан в радианах в виде десятичной дроби. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14159 $.

Определим границы четвертей в числовом выражении:

$ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57 $

$ \pi \approx 3,14 $

$ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14159}{2} \approx 4,71 $

Сравним заданный угол $ \alpha = 4,6 $ с этими значениями: $ \pi < 4,6 < \frac{3\pi}{2} $, так как $ 3,14 < 4,6 < 4,71 $.

Следовательно, угол $ \alpha = 4,6 $ находится в III координатной четверти.

В III четверти косинус отрицателен.

Ответ: минус.

3) $ \alpha = -5,3 $

Угол дан в радианах и является отрицательным. Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке. Чтобы определить четверть, можно найти эквивалентный положительный угол, прибавив $ 2\pi $ (полный оборот).

Используем приближение $ 2\pi \approx 6,28 $.

Найдем наименьший положительный угол: $ \alpha' = -5,3 + 2\pi \approx -5,3 + 6,28 = 0,98 $ радиан.

Теперь определим четверть для угла $ \alpha' = 0,98 $. Сравним его с $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $.

Так как $ 0 < 0,98 < \frac{\pi}{2} $, угол находится в I координатной четверти.

В I четверти косинус положителен.

Ответ: плюс.

4) $ \alpha = -150^\circ $

Угол дан в градусах и является отрицательным. Отсчет ведется по часовой стрелке.

Границы четвертей при движении по часовой стрелке: IV четверть (от $ 0^\circ $ до $ -90^\circ $), III четверть (от $ -90^\circ $ до $ -180^\circ $).

Угол $ -150^\circ $ удовлетворяет неравенству $ -180^\circ < -150^\circ < -90^\circ $.

Следовательно, угол $ \alpha = -150^\circ $ находится в III координатной четверти.

В III четверти косинус отрицателен.

Ответ: минус.

977. Определить знак числа tgα, если:

1) $\alpha = \frac{12}{5} \pi$;

2) $\alpha = 3,7$;

3) $\alpha = -1,3$;

4) $\alpha = 283^\circ$.

Для определения знака тангенса угла $\tg \alpha$ необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$.

• $\tg \alpha > 0$ (положителен) в I и III четвертях.
• $\tg \alpha < 0$ (отрицателен) во II и IV четвертях.

1) $\alpha = \frac{12}{5}\pi$

Чтобы определить четверть, представим угол в виде $\alpha = 2\pi k + \alpha_0$, где $\alpha_0$ — угол в пределах от $0$ до $2\pi$.

$\alpha = \frac{12}{5}\pi = \frac{10\pi + 2\pi}{5} = \frac{10\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} = 2\pi + \frac{2}{5}\pi$.

Отбросив полный оборот $2\pi$, получаем угол $\frac{2}{5}\pi$. Теперь определим, в какой четверти он находится. Сравним его с границами четвертей: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$.

$0 < \frac{2}{5}\pi < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{2}{5} = 0,4$, а $\frac{1}{2} = 0,5$, то есть $0,4 < 0,5$.

Угол находится в I четверти, где тангенс положителен.

Ответ: $\tg \frac{12}{5}\pi > 0$ (знак плюс).

2) $\alpha = 3,7$

Угол дан в радианах. Сравним его с приближенными значениями границ четвертей, используя $\pi \approx 3,14159$.

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$.

$\pi \approx 3,14$.

$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$.

Сравниваем значение угла $3,7$ с этими границами: $\pi < 3,7 < \frac{3\pi}{2}$ (поскольку $3,14 < 3,7 < 4,71$).

Угол находится в III четверти, где тангенс положителен.

Ответ: $\tg 3,7 > 0$ (знак плюс).

3) $\alpha = -1,3$

Угол дан в радианах и является отрицательным, то есть откладывается по часовой стрелке от начальной точки. Сравним его с границами четвертей для отрицательных углов.

$-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.

Сравниваем значение угла $-1,3$: $-\frac{\pi}{2} < -1,3 < 0$ (поскольку $-1,57 < -1,3 < 0$).

Угол находится в IV четверти, где тангенс отрицателен.

Ответ: $\tg(-1,3) < 0$ (знак минус).

4) $\alpha = 283^\circ$

Угол дан в градусах. Сравним его с границами четвертей в градусной мере.

I четверть: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

II четверть: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$

III четверть: $180^\circ < \alpha < 270^\circ$

IV четверть: $270^\circ < \alpha < 360^\circ$

Поскольку $270^\circ < 283^\circ < 360^\circ$, угол находится в IV четверти.

В IV четверти тангенс отрицателен.

Ответ: $\tg 283^\circ < 0$ (знак минус).

978. Определить знаки чисел $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, если:

1) $ \pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi; $

2) $ \frac{3}{2}\pi < \alpha < \frac{7}{4}\pi; $

3) $ \frac{7}{4}\pi < \alpha < 2\pi; $

4) $ 2\pi < \alpha < 2,5\pi. $

Для определения знаков тригонометрических функций $ \sin\alpha $, $ \cos\alpha $ и $ \text{tg}\,\alpha $ будем использовать единичную окружность и расположение угла $ \alpha $ в одной из четырёх координатных четвертей.

• I четверть ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $): $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha > 0 $
• II четверть ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $): $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha < 0 $, $ \text{tg}\,\alpha < 0 $
• III четверть ($ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $): $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha < 0 $, $ \text{tg}\,\alpha > 0 $
• IV четверть ($ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $): $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha < 0 $

1) $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $

Угол $ \alpha $ в этом интервале расположен в третьей координатной четверти. В этой четверти синус (координата y) и косинус (координата x) отрицательны. Так как $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, то при делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. Таким образом, $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha < 0 $, $ \text{tg}\,\alpha > 0 $.

Ответ: $ \sin\alpha < 0 $ (минус), $ \cos\alpha < 0 $ (минус), $ \text{tg}\,\alpha > 0 $ (плюс).

2) $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < \frac{7\pi}{4} $

Угол $ \alpha $ в этом интервале расположен в четвертой координатной четверти, так как $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < \frac{7\pi}{4} < 2\pi $. В этой четверти синус (координата y) отрицателен, а косинус (координата x) положителен. Тангенс, как отношение отрицательного числа к положительному, будет отрицательным. Таким образом, $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha < 0 $.

Ответ: $ \sin\alpha < 0 $ (минус), $ \cos\alpha > 0 $ (плюс), $ \text{tg}\,\alpha < 0 $ (минус).

3) $ \frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi $

Угол $ \alpha $ в этом интервале также расположен в четвертой координатной четверти. Следовательно, знаки функций будут такими же, как и в предыдущем пункте. Синус отрицателен, косинус положителен, а тангенс отрицателен. Таким образом, $ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha < 0 $.

Ответ: $ \sin\alpha < 0 $ (минус), $ \cos\alpha > 0 $ (плюс), $ \text{tg}\,\alpha < 0 $ (минус).

4) $ 2\pi < \alpha < 2,5\pi $

В силу периодичности тригонометрических функций (период $ 2\pi $), данный интервал эквивалентен интервалу $ 0 < \alpha' < 0,5\pi $, где $ \alpha' = \alpha - 2\pi $. Интервал $ 0 < \alpha' < \frac{\pi}{2} $ соответствует первой координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус, и тангенс положительны. Таким образом, $ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha > 0 $, $ \text{tg}\,\alpha > 0 $.

Ответ: $ \sin\alpha > 0 $ (плюс), $ \cos\alpha > 0 $ (плюс), $ \text{tg}\,\alpha > 0 $ (плюс).

979. Определить знаки чисел $ \sin\alpha $, $ \cos\alpha $, $ \tan\alpha $, если:

1) $ \alpha = 1 $;

2) $ \alpha = 3 $;

3) $ \alpha = -3.4 $;

4) $ \alpha = -1.3 $;

Для определения знаков тригонометрических функций $ \sin\alpha $, $ \cos\alpha $ и $ \text{tg}\alpha $ необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $. Углы в задаче даны в радианах. Мы будем определять четверть, сравнивая значение угла с границами четвертей, выраженными через число $ \pi \approx 3,14159... $

Знаки тригонометрических функций по четвертям на единичной окружности:

• I четверть ($ 0 < \alpha < \pi/2 \approx 1,57 $): $ \sin\alpha $ (+), $ \cos\alpha $ (+), $ \text{tg}\alpha $ (+)
• II четверть ($ \pi/2 \approx 1,57 < \alpha < \pi \approx 3,14 $): $ \sin\alpha $ (+), $ \cos\alpha $ (-), $ \text{tg}\alpha $ (-)
• III четверть ($ \pi \approx 3,14 < \alpha < 3\pi/2 \approx 4,71 $): $ \sin\alpha $ (-), $ \cos\alpha $ (-), $ \text{tg}\alpha $ (+)
• IV четверть ($ 3\pi/2 \approx 4,71 < \alpha < 2\pi \approx 6,28 $): $ \sin\alpha $ (-), $ \cos\alpha $ (+), $ \text{tg}\alpha $ (-)

Для отрицательных углов движение по окружности происходит по часовой стрелке.

1) α = 1;
Определим четверть для угла $ \alpha = 1 $ радиан. Используем приближенное значение $ \pi/2 \approx 1,57 $.
Поскольку $ 0 < 1 < 1,57 $, то есть $ 0 < 1 < \pi/2 $, угол $ \alpha = 1 $ находится в I четверти.
В I четверти все тригонометрические функции положительны.
Ответ: $ \sin(1) > 0 $, $ \cos(1) > 0 $, $ \text{tg}(1) > 0 $.

2) α = 3;
Определим четверть для угла $ \alpha = 3 $ радиана. Используем приближенные значения $ \pi/2 \approx 1,57 $ и $ \pi \approx 3,14 $.
Поскольку $ 1,57 < 3 < 3,14 $, то есть $ \pi/2 < 3 < \pi $, угол $ \alpha = 3 $ находится во II четверти.
Во II четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.
Ответ: $ \sin(3) > 0 $, $ \cos(3) < 0 $, $ \text{tg}(3) < 0 $.

3) α = -3,4;
Определим четверть для отрицательного угла $ \alpha = -3,4 $ радиана. Используем приближенные значения $ -\pi \approx -3,14 $ и $ -3\pi/2 \approx -4,71 $.
Поскольку $ -4,71 < -3,4 < -3,14 $, то есть $ -3\pi/2 < -3,4 < -\pi $, угол $ \alpha = -3,4 $ находится во II четверти.
Во II четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.
Ответ: $ \sin(-3,4) > 0 $, $ \cos(-3,4) < 0 $, $ \text{tg}(-3,4) < 0 $.

4) α = -1,3.
Определим четверть для отрицательного угла $ \alpha = -1,3 $ радиана. Используем приближенное значение $ -\pi/2 \approx -1,57 $.
Поскольку $ -1,57 < -1,3 < 0 $, то есть $ -\pi/2 < -1,3 < 0 $, угол $ \alpha = -1,3 $ находится в IV четверти.
В IV четверти синус отрицателен, косинус положителен, а тангенс отрицателен.
Ответ: $ \sin(-1,3) < 0 $, $ \cos(-1,3) > 0 $, $ \text{tg}(-1,3) < 0 $.

980. Пусть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Определить знак числа:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$;

2) $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$;

3) $\cos(\alpha-\pi)$;

4) $\text{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$;

5) $\text{tg}\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)$;

6) $\sin(\pi-\alpha)$.

Для определения знака каждого числа мы будем использовать тот факт, что угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. В этой четверти все тригонометрические функции ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$) имеют положительные значения.

1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$. Начнем с неравенства для $\alpha$: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Умножим все части на -1, при этом знаки неравенства изменятся: $0 > -\alpha > -\frac{\pi}{2}$, или $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$. Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} + 0$. Получаем: $0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти. Синус в I четверти положителен. Альтернативно, по формуле приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$. Поскольку $\alpha$ находится в I четверти, $\cos(\alpha)$ > 0.

Ответ: Положительный.

2) $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Определим четверть для угла $\frac{\pi}{2} + \alpha$. Из условия $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям: $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi$. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен. По формуле приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\sin(\alpha)$ > 0, следовательно, $-\sin(\alpha)$ < 0.

Ответ: Отрицательный.

3) $\cos(\alpha - \pi)$

Косинус — четная функция, поэтому $\cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha)$. Теперь определим четверть для угла $\pi - \alpha$. Из $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ следует, что $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$. Прибавим $\pi$: $\pi - \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$, то есть $\frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$. Угол находится во II четверти, где косинус отрицателен. По формуле приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\cos(\alpha)$ > 0, следовательно, $-\cos(\alpha)$ < 0.

Ответ: Отрицательный.

4) $\tan(\alpha - \frac{\pi}{2})$

Тангенс — нечетная функция, поэтому $\tan(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$, как мы выяснили в пункте 1, находится в I четверти. Тангенс в I четверти положителен. Следовательно, $-\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ будет отрицательным. По формуле приведения: $-\tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\cot(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\cot(\alpha)$ > 0, а значит $-\cot(\alpha)$ < 0.

Ответ: Отрицательный.

5) $\tan(\frac{3}{2}\pi - \alpha)$

Определим четверть для угла $\frac{3}{2}\pi - \alpha$. Из $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ следует, что $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$. Прибавим $\frac{3\pi}{2}$: $\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2}$, то есть $\pi < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Угол находится в III четверти. Тангенс в III четверти положителен. По формуле приведения: $\tan(\frac{3}{2}\pi - \alpha) = \cot(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\cot(\alpha)$ > 0.

Ответ: Положительный.

6) $\sin(\pi - \alpha)$

Определим четверть для угла $\pi - \alpha$. Как мы выяснили в пункте 3, $\frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$. Угол находится во II четверти. Синус во II четверти положителен. По формуле приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Так как $\alpha$ в I четверти, $\sin(\alpha)$ > 0.

Ответ: Положительный.