Номер 979, страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

979. Определить знаки чисел $ \sin\alpha $, $ \cos\alpha $, $ \tan\alpha $, если:

1) $ \alpha = 1 $;

2) $ \alpha = 3 $;

3) $ \alpha = -3.4 $;

4) $ \alpha = -1.3 $;

Для определения знаков тригонометрических функций $ \sin\alpha $, $ \cos\alpha $ и $ \text{tg}\alpha $ необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $. Углы в задаче даны в радианах. Мы будем определять четверть, сравнивая значение угла с границами четвертей, выраженными через число $ \pi \approx 3,14159... $

Знаки тригонометрических функций по четвертям на единичной окружности:

• I четверть ($ 0 < \alpha < \pi/2 \approx 1,57 $): $ \sin\alpha $ (+), $ \cos\alpha $ (+), $ \text{tg}\alpha $ (+)
• II четверть ($ \pi/2 \approx 1,57 < \alpha < \pi \approx 3,14 $): $ \sin\alpha $ (+), $ \cos\alpha $ (-), $ \text{tg}\alpha $ (-)
• III четверть ($ \pi \approx 3,14 < \alpha < 3\pi/2 \approx 4,71 $): $ \sin\alpha $ (-), $ \cos\alpha $ (-), $ \text{tg}\alpha $ (+)
• IV четверть ($ 3\pi/2 \approx 4,71 < \alpha < 2\pi \approx 6,28 $): $ \sin\alpha $ (-), $ \cos\alpha $ (+), $ \text{tg}\alpha $ (-)

Для отрицательных углов движение по окружности происходит по часовой стрелке.

1) α = 1;
Определим четверть для угла $ \alpha = 1 $ радиан. Используем приближенное значение $ \pi/2 \approx 1,57 $.
Поскольку $ 0 < 1 < 1,57 $, то есть $ 0 < 1 < \pi/2 $, угол $ \alpha = 1 $ находится в I четверти.
В I четверти все тригонометрические функции положительны.
Ответ: $ \sin(1) > 0 $, $ \cos(1) > 0 $, $ \text{tg}(1) > 0 $.

2) α = 3;
Определим четверть для угла $ \alpha = 3 $ радиана. Используем приближенные значения $ \pi/2 \approx 1,57 $ и $ \pi \approx 3,14 $.
Поскольку $ 1,57 < 3 < 3,14 $, то есть $ \pi/2 < 3 < \pi $, угол $ \alpha = 3 $ находится во II четверти.
Во II четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.
Ответ: $ \sin(3) > 0 $, $ \cos(3) < 0 $, $ \text{tg}(3) < 0 $.

3) α = -3,4;
Определим четверть для отрицательного угла $ \alpha = -3,4 $ радиана. Используем приближенные значения $ -\pi \approx -3,14 $ и $ -3\pi/2 \approx -4,71 $.
Поскольку $ -4,71 < -3,4 < -3,14 $, то есть $ -3\pi/2 < -3,4 < -\pi $, угол $ \alpha = -3,4 $ находится во II четверти.
Во II четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.
Ответ: $ \sin(-3,4) > 0 $, $ \cos(-3,4) < 0 $, $ \text{tg}(-3,4) < 0 $.

4) α = -1,3.
Определим четверть для отрицательного угла $ \alpha = -1,3 $ радиана. Используем приближенное значение $ -\pi/2 \approx -1,57 $.
Поскольку $ -1,57 < -1,3 < 0 $, то есть $ -\pi/2 < -1,3 < 0 $, угол $ \alpha = -1,3 $ находится в IV четверти.
В IV четверти синус отрицателен, косинус положителен, а тангенс отрицателен.
Ответ: $ \sin(-1,3) < 0 $, $ \cos(-1,3) > 0 $, $ \text{tg}(-1,3) < 0 $.