Номер 973, страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

§4. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Глава VIII. Тригонометрические формулы - номер 973, страница 286.

Условие.

973. Выяснить, в какой четверти находится точка, полученная поворотом точки P(1; 0) на угол α, если:

1) $ \alpha = \frac{3\pi}{4}; $

2) $ \alpha = -\frac{3\pi}{4}; $

3) $ \alpha = -\frac{7\pi}{4}; $

4) $ \alpha = 4,8. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения, в какой четверти находится точка после поворота, мы анализируем величину угла $\alpha$ в радианах. Координатная плоскость делится на четыре четверти:

• I четверть: угол от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ (от $0$ до $\approx 1,57$ рад)
• II четверть: угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ (от $\approx 1,57$ до $\approx 3,14$ рад)
• III четверть: угол от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ (от $\approx 3,14$ до $\approx 4,71$ рад)
• IV четверть: угол от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ (от $\approx 4,71$ до $\approx 6,28$ рад)

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке от положительного направления оси Ox.

1) $\alpha = \frac{3\pi}{4}$

Чтобы определить четверть, сравним угол $\alpha$ с граничными значениями. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$ и $\pi = \frac{4\pi}{4}$. Так как выполняется неравенство $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, то угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

2) $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$

Данный угол отрицателен. Чтобы найти эквивалентный ему положительный угол в пределах от $0$ до $2\pi$, прибавим $2\pi$: $\alpha' = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Теперь сравним полученный угол $\alpha'$ с границами четвертей. Мы знаем, что $\pi = \frac{4\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$. Так как выполняется неравенство $\frac{4\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} < \frac{6\pi}{4}$, то есть $\pi < \alpha' < \frac{3\pi}{2}$, то угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

3) $\alpha = -\frac{7\pi}{4}$

Угол отрицателен. Найдем соответствующий ему положительный угол, прибавив $2\pi$: $\alpha' = -\frac{7\pi}{4} + 2\pi = -\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$. Угол $\alpha' = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, значит, он находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

4) $\alpha = 4,8$

Угол задан в радианах. Используем приближенные значения для границ четвертей: $\pi \approx 3,14159$. $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$
$\pi \approx 3,14$
$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$
$2\pi \approx 6,28$
Сравниваем значение $\alpha = 4,8$ с этими границами. Мы видим, что $4,71 < 4,8 < 6,28$. Это соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что означает, что угол находится в четвертой четверти.
Ответ: IV четверть.