Номер 970, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

970. Выяснить, что больше:

1) $\sin 20^\circ$ или $\sin 20^\circ \cdot \operatorname{tg} 40^\circ$;

2) $\cos 42^\circ$ или $\cos 42^\circ \cdot \operatorname{tg} 48^\circ$.

1) Сравним выражения $sin 20^\circ$ и $sin 20^\circ \cdot tg 40^\circ$.

Оба выражения содержат общий множитель $sin 20^\circ$. Угол $20^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 20^\circ < 90^\circ$), где синус положителен. Значит, $sin 20^\circ > 0$.

Так как общий множитель положителен, знак сравнения будет зависеть от второго множителя, $tg 40^\circ$, в сравнении с единицей. Если $tg 40^\circ > 1$, то второе выражение больше. Если $tg 40^\circ < 1$, то первое выражение больше.

Рассмотрим функцию тангенса. В первой четверти она возрастает. Нам известно, что $tg 45^\circ = 1$.

Поскольку $40^\circ < 45^\circ$, и тангенс — возрастающая функция на этом интервале, то $tg 40^\circ < tg 45^\circ$. Следовательно, $tg 40^\circ < 1$.

Умножая положительное число $sin 20^\circ$ на число, которое меньше единицы ($tg 40^\circ$), мы получаем произведение, которое меньше исходного числа $sin 20^\circ$.

Таким образом, $sin 20^\circ \cdot tg 40^\circ < sin 20^\circ$.

Ответ: $sin 20^\circ$ больше, чем $sin 20^\circ \cdot tg 40^\circ$.

2) Сравним выражения $cos 42^\circ$ и $cos 42^\circ \cdot tg 48^\circ$.

Общим множителем является $cos 42^\circ$. Угол $42^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 42^\circ < 90^\circ$), где косинус положителен. Значит, $cos 42^\circ > 0$.

Так как общий множитель положителен, сравнение сводится к сравнению $1$ и $tg 48^\circ$.

Функция тангенса возрастает в первой четверти. Мы знаем, что $tg 45^\circ = 1$.

Поскольку $48^\circ > 45^\circ$, и тангенс — возрастающая функция на этом интервале, то $tg 48^\circ > tg 45^\circ$. Следовательно, $tg 48^\circ > 1$.

Умножая положительное число $cos 42^\circ$ на число, которое больше единицы ($tg 48^\circ$), мы получаем произведение, которое больше исходного числа $cos 42^\circ$.

Таким образом, $cos 42^\circ \cdot tg 48^\circ > cos 42^\circ$.

Ответ: $cos 42^\circ \cdot tg 48^\circ$ больше, чем $cos 42^\circ$.