Номер 972, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

972. Сравнить с нулём разность:

1) $\cos \left(3 \operatorname{tg}^{2} \frac{\pi}{6}\right)-\operatorname{ctg} 1;$

2) $\operatorname{tg} 1-\sin \left(2 \cos \frac{\pi}{3}\right).$

1) Сравнить с нулём разность $ \cos(3\text{tg}^2\frac{\pi}{6}) - \text{ctg}1 $.

Сначала упростим аргумент косинуса. Найдём значение $ \text{tg}\frac{\pi}{6} $:
$ \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} $
Тогда $ \text{tg}^2\frac{\pi}{6} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} $.
Теперь можем вычислить весь аргумент:
$ 3\text{tg}^2\frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 $.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \cos(1) - \text{ctg}1 $

Представим котангенс через синус и косинус: $ \text{ctg}1 = \frac{\cos1}{\sin1} $.
Подставим это в выражение и приведём к общему знаменателю:
$ \cos1 - \frac{\cos1}{\sin1} = \frac{\cos1 \cdot \sin1 - \cos1}{\sin1} = \frac{\cos1(\sin1 - 1)}{\sin1} $

Теперь оценим знак полученного выражения. Угол в 1 радиан находится в первой четверти, так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} $ (поскольку $ \pi \approx 3.14 $, то $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $). Для угла в первой четверти справедливы неравенства: $ \cos1 > 0 $ и $ \sin1 > 0 $.
Также известно, что значение синуса любого угла не превышает 1, то есть $ \sin x \le 1 $. Равенство достигается только при $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ - целое число. Поскольку $ 1 \ne \frac{\pi}{2} $, то $ \sin1 < 1 $. Следовательно, разность $ \sin1 - 1 < 0 $.

Определим знак всего выражения $ \frac{\cos1(\sin1 - 1)}{\sin1} $. В числителе находится произведение положительного числа ($ \cos1 $) и отрицательного числа ($ \sin1 - 1 $), поэтому числитель отрицателен. В знаменателе стоит положительное число ($ \sin1 $). Деление отрицательного числа на положительное даёт отрицательный результат.
$ \frac{(+)\cdot(-)}{(+)} < 0 $
Таким образом, разность $ \cos(3\text{tg}^2\frac{\pi}{6}) - \text{ctg}1 $ меньше нуля.

Ответ: $ \cos(3\text{tg}^2\frac{\pi}{6}) - \text{ctg}1 < 0 $.

2) Сравнить с нулём разность $ \text{tg}1 - \sin(2\cos\frac{\pi}{3}) $.

Сначала упростим аргумент синуса. Найдём значение $ \cos\frac{\pi}{3} $:
$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $
Теперь можем вычислить весь аргумент:
$ 2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \text{tg}1 - \sin1 $

Представим тангенс через синус и косинус: $ \text{tg}1 = \frac{\sin1}{\cos1} $.
Подставим это в выражение и приведём к общему знаменателю:
$ \frac{\sin1}{\cos1} - \sin1 = \frac{\sin1 - \sin1 \cdot \cos1}{\cos1} = \frac{\sin1(1 - \cos1)}{\cos1} $

Теперь оценим знак полученного выражения. Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} $). Для такого угла $ \sin1 > 0 $ и $ \cos1 > 0 $.
Также известно, что значение косинуса любого угла (кроме $ 2\pi k $, где $k$ - целое) строго меньше 1, то есть $ \cos x < 1 $ для $ x \ne 2\pi k $. Поскольку $ 1 \ne 2\pi k $, то $ \cos1 < 1 $. Следовательно, разность $ 1 - \cos1 > 0 $.

Определим знак всего выражения $ \frac{\sin1(1 - \cos1)}{\cos1} $. В числителе находится произведение двух положительных чисел ($ \sin1 $ и $ 1 - \cos1 $), поэтому числитель положителен. В знаменателе стоит положительное число ($ \cos1 $). Деление положительного числа на положительное даёт положительный результат.
$ \frac{(+)\cdot(+)}{(+)} > 0 $
Таким образом, разность $ \text{tg}1 - \sin(2\cos\frac{\pi}{3}) $ больше нуля.

Ответ: $ \text{tg}1 - \sin(2\cos\frac{\pi}{3}) > 0 $.