Номер 971, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

971. Доказать, что всякая хорда единичной окружности равна удвоенному синусу половины центрального угла, соответствующего этой хорде.

Пусть дана единичная окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R=1$.

Рассмотрим произвольную хорду $AB$ этой окружности. Соединив концы хорды с центром окружности, получим равнобедренный треугольник $\triangle OAB$, так как его боковые стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами, и, следовательно, $OA = OB = 1$.

Центральный угол, соответствующий хорде $AB$ (или стягиваемый ею), — это угол $\angle AOB$. Обозначим его величину как $\alpha$.

Проведём из вершины $O$ высоту $OH$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой и медианой.

Как биссектриса, $OH$ делит угол $\angle AOB$ пополам:

$\angle AOH = \angle BOH = \frac{\alpha}{2}$

Как медиана, $OH$ делит хорду $AB$ пополам:

$AH = HB = \frac{AB}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOH$ (угол $\angle OHA = 90^\circ$). По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle AOH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{OA}$

Подставим в эту формулу известные нам значения: гипотенуза $OA=1$ (так как это радиус единичной окружности) и $\angle AOH = \frac{\alpha}{2}$.

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AH}{1}$

Отсюда следует, что длина отрезка $AH$ равна $\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Поскольку длина всей хорды $AB$ в два раза больше длины её половины $AH$, мы получаем:

$AB = 2 \cdot AH = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Таким образом, мы доказали, что всякая хорда единичной окружности равна удвоенному синусу половины центрального угла, соответствующего этой хорде. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Длина хорды $l$ единичной окружности действительно равна удвоенному синусу половины соответствующего ей центрального угла $\alpha$, что выражается формулой $l = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})$.