Номер 977, страница 286 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

977. Определить знак числа tgα, если:

1) $\alpha = \frac{12}{5} \pi$;

2) $\alpha = 3,7$;

3) $\alpha = -1,3$;

4) $\alpha = 283^\circ$.

Для определения знака тангенса угла $\tg \alpha$ необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$.

• $\tg \alpha > 0$ (положителен) в I и III четвертях.
• $\tg \alpha < 0$ (отрицателен) во II и IV четвертях.

1) $\alpha = \frac{12}{5}\pi$

Чтобы определить четверть, представим угол в виде $\alpha = 2\pi k + \alpha_0$, где $\alpha_0$ — угол в пределах от $0$ до $2\pi$.

$\alpha = \frac{12}{5}\pi = \frac{10\pi + 2\pi}{5} = \frac{10\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} = 2\pi + \frac{2}{5}\pi$.

Отбросив полный оборот $2\pi$, получаем угол $\frac{2}{5}\pi$. Теперь определим, в какой четверти он находится. Сравним его с границами четвертей: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$.

$0 < \frac{2}{5}\pi < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{2}{5} = 0,4$, а $\frac{1}{2} = 0,5$, то есть $0,4 < 0,5$.

Угол находится в I четверти, где тангенс положителен.

Ответ: $\tg \frac{12}{5}\pi > 0$ (знак плюс).

2) $\alpha = 3,7$

Угол дан в радианах. Сравним его с приближенными значениями границ четвертей, используя $\pi \approx 3,14159$.

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$.

$\pi \approx 3,14$.

$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$.

Сравниваем значение угла $3,7$ с этими границами: $\pi < 3,7 < \frac{3\pi}{2}$ (поскольку $3,14 < 3,7 < 4,71$).

Угол находится в III четверти, где тангенс положителен.

Ответ: $\tg 3,7 > 0$ (знак плюс).

3) $\alpha = -1,3$

Угол дан в радианах и является отрицательным, то есть откладывается по часовой стрелке от начальной точки. Сравним его с границами четвертей для отрицательных углов.

$-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.

Сравниваем значение угла $-1,3$: $-\frac{\pi}{2} < -1,3 < 0$ (поскольку $-1,57 < -1,3 < 0$).

Угол находится в IV четверти, где тангенс отрицателен.

Ответ: $\tg(-1,3) < 0$ (знак минус).

4) $\alpha = 283^\circ$

Угол дан в градусах. Сравним его с границами четвертей в градусной мере.

I четверть: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

II четверть: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$

III четверть: $180^\circ < \alpha < 270^\circ$

IV четверть: $270^\circ < \alpha < 360^\circ$

Поскольку $270^\circ < 283^\circ < 360^\circ$, угол находится в IV четверти.

В IV четверти тангенс отрицателен.

Ответ: $\tg 283^\circ < 0$ (знак минус).