Номер 984, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

984. Сравнить числа:

1) $ \sin 0.7 $ и $ \sin 4 $;

2) $ \cos 1.3 $ и $ \cos 2.3 $.

1) Сравнить $ \sin 0,7 $ и $ \sin 4 $.

Для сравнения этих чисел определим, в каких координатных четвертях находятся углы 0,7 радиана и 4 радиана. Для этого будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.

Угол 0,7 радиана. Мы знаем, что $\pi/2 \approx 3,14 / 2 = 1,57$. Так как $0 < 0,7 < 1,57$, то есть $0 < 0,7 < \pi/2$, угол 0,7 радиана находится в I координатной четверти. В I четверти синус положителен, значит, $ \sin 0,7 > 0 $.

Угол 4 радиана. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14$ и $3\pi/2 \approx 3 \cdot 3,14 / 2 = 4,71$. Так как $3,14 < 4 < 4,71$, то есть $\pi < 4 < 3\pi/2$, угол 4 радиана находится в III координатной четверти. В III четверти синус отрицателен, значит, $ \sin 4 < 0 $.

Поскольку $ \sin 0,7 $ — положительное число, а $ \sin 4 $ — отрицательное, то очевидно, что $ \sin 0,7 > \sin 4 $.

Ответ: $ \sin 0,7 > \sin 4 $.

2) Сравнить $ \cos 1,3 $ и $ \cos 2,3 $.

Аналогично предыдущему пункту, определим координатные четверти для углов 1,3 радиана и 2,3 радиана. Используем те же приближения для $\pi$.

Угол 1,3 радиана. Так как $0 < 1,3 < \pi/2 \approx 1,57$, этот угол находится в I координатной четверти. В I четверти косинус положителен, следовательно, $ \cos 1,3 > 0 $.

Угол 2,3 радиана. Так как $\pi/2 \approx 1,57 < 2,3 < \pi \approx 3,14$, этот угол находится во II координатной четверти. Во II четверти косинус отрицателен, следовательно, $ \cos 2,3 < 0 $.

Сравнивая положительное число $ \cos 1,3 $ с отрицательным числом $ \cos 2,3 $, получаем $ \cos 1,3 > \cos 2,3 $.

Дополнительное рассуждение: Также можно рассмотреть функцию $y = \cos x$. На промежутке $[0, \pi]$ эта функция является убывающей. Оба угла, 1,3 и 2,3, принадлежат этому промежутку ($0 < 1,3 < \pi$ и $0 < 2,3 < \pi$). Поскольку $1,3 < 2,3$, из свойства убывающей функции следует, что $\cos 1,3 > \cos 2,3$.

Ответ: $ \cos 1,3 > \cos 2,3 $.