Номер 989, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

989. Сравнить с нулем:

1) $ \sin 5 \cdot \text{tg} 5 \cdot \cos 5 $;

2) $ \sin 3 \cdot \text{tg} 4 \cdot \cos 2 $.

1) Чтобы сравнить выражение $ \sin 5 \cdot \tg 5 \cdot \cos 5 $ с нулем, преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.

Подставим это определение в исходное выражение:

$ \sin 5 \cdot \frac{\sin 5}{\cos 5} \cdot \cos 5 $

Данное преобразование возможно, если $ \cos 5 \neq 0 $. Косинус равен нулю при углах $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — целое число. Поскольку 5 не является числом такого вида ( $ 5/\pi \approx 1.59 $, что не равно $ 0.5 + k $), то $ \cos 5 \neq 0 $. Следовательно, мы можем сократить $ \cos 5 $ в числителе и знаменателе. Выражение упрощается до:

$ \sin^2 5 $

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Чтобы выражение было равно нулю, необходимо, чтобы $ \sin 5 = 0 $. Синус равен нулю при углах $ \pi k $, где $ k $ — целое число. Так как $ 5/\pi \approx 1.59 $ не является целым числом, то $ \sin 5 \neq 0 $.

Поскольку $ \sin 5 \neq 0 $, то его квадрат $ \sin^2 5 $ будет строго положительным числом.

Ответ: выражение больше нуля.

2) Чтобы сравнить выражение $ \sin 3 \cdot \tg 4 \cdot \cos 2 $ с нулем, определим знак каждого из множителей. Для этого выясним, в какой координатной четверти находится каждый из углов (углы заданы в радианах).

Используем приближенные значения для $ \pi $: $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $.

• Знак $ \sin 3 $: Так как $ 1.57 < 3 < 3.14 $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $, угол в 3 радиана находится во II координатной четверти. Синус во II четверти положителен, следовательно, $ \sin 3 > 0 $.

• Знак $ \tg 4 $: Так как $ 3.14 < 4 < 4.71 $, то есть $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $, угол в 4 радиана находится в III координатной четверти. Тангенс в III четверти положителен, следовательно, $ \tg 4 > 0 $.

• Знак $ \cos 2 $: Так как $ 1.57 < 2 < 3.14 $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол в 2 радиана находится во II координатной четверти. Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $ \cos 2 < 0 $.

Теперь определим знак всего произведения, перемножив знаки множителей:

$ (+) \cdot (+) \cdot (-) = (-) $

Произведение двух положительных и одного отрицательного числа отрицательно.

Ответ: выражение меньше нуля.