Номер 993, страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

993. По одному из данных чисел $sin\alpha$, $cos\alpha$, $tg\alpha$ и $ctg\alpha$ найти остальные три:

1) $cos\alpha = \frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

2) $sin\alpha = 0,8$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $tg\alpha = -3$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

4) $ctg\alpha = \frac{7}{24}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1) Дано: $ \cos\alpha = \frac{5}{13} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Угол $ \alpha $ находится в IV четверти, где синус и тангенс отрицательны, а косинус положителен.

1. Найдем $ \sin\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169} $

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Так как угол $ \alpha $ в IV четверти, $ \sin\alpha $ отрицателен, поэтому $ \sin\alpha = -\frac{12}{13} $.

2. Найдем $ \text{tg}\,\alpha $ по формуле $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \text{tg}\,\alpha = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5} $.

3. Найдем $ \text{ctg}\,\alpha $ по формуле $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} $.

$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{12}{13}, \text{tg}\,\alpha = -\frac{12}{5}, \text{ctg}\,\alpha = -\frac{5}{12} $.

2) Дано: $ \sin\alpha = 0,8 $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Угол $ \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.

1. Найдем $ \cos\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $.

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 $.

Так как угол $ \alpha $ во II четверти, $ \cos\alpha $ отрицателен, поэтому $ \cos\alpha = -0,6 $.

2. Найдем $ \text{tg}\,\alpha $ по формуле $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \text{tg}\,\alpha = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} $.

3. Найдем $ \text{ctg}\,\alpha $ по формуле $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} $.

$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ \cos\alpha = -0,6, \text{tg}\,\alpha = -\frac{4}{3}, \text{ctg}\,\alpha = -\frac{3}{4} $.

3) Дано: $ \text{tg}\,\alpha = -3 $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Угол $ \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен, а синус и тангенс отрицательны.

1. Найдем $ \text{ctg}\,\alpha $ по формуле $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} $.

$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} $.

2. Найдем $ \cos\alpha $ с помощью тождества $ 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 $.

$ \cos^2\alpha = \frac{1}{10} \implies \cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10} $.

Так как угол $ \alpha $ в IV четверти, $ \cos\alpha $ положителен, поэтому $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} $.

3. Найдем $ \sin\alpha $ из формулы $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \implies \sin\alpha = \text{tg}\,\alpha \cdot \cos\alpha $.

$ \sin\alpha = -3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}, \cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}, \text{ctg}\,\alpha = -\frac{1}{3} $.

4) Дано: $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{7}{24} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Угол $ \alpha $ находится в III четверти, где тангенс и котангенс положительны, а синус и косинус отрицательны.

1. Найдем $ \text{tg}\,\alpha $ по формуле $ \text{tg}\,\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\,\alpha} $.

$ \text{tg}\,\alpha = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7} $.

2. Найдем $ \sin\alpha $ с помощью тождества $ 1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576} $.

$ \sin^2\alpha = \frac{576}{625} \implies \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25} $.

Так как угол $ \alpha $ в III четверти, $ \sin\alpha $ отрицателен, поэтому $ \sin\alpha = -\frac{24}{25} $.

3. Найдем $ \cos\alpha $ из формулы $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \implies \cos\alpha = \text{ctg}\,\alpha \cdot \sin\alpha $.

$ \cos\alpha = \frac{7}{24} \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{7}{25} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{24}{25}, \cos\alpha = -\frac{7}{25}, \text{tg}\,\alpha = \frac{24}{7} $.