Номер 997, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

997. Известно, что tg $\alpha = 2$. Найти значение выражения:

1) $\frac{\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha}{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha}$;

2) $\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$;

3) $\frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}$;

4) $\frac{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$.

1) Поскольку $ \text{tg}\,\alpha = 2 $, мы можем найти $ \text{ctg}\,\alpha $, используя тождество $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} $.
$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{2} $.
Теперь подставим значения $ \text{tg}\,\alpha $ и $ \text{ctg}\,\alpha $ в данное выражение:
$ \frac{\text{ctg}\,\alpha + \text{tg}\,\alpha}{\text{ctg}\,\alpha - \text{tg}\,\alpha} = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{\frac{1+4}{2}}{\frac{1-4}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{5}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5}{3} $.

2) Чтобы выразить $ \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $ через $ \text{tg}\,\alpha $, разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos\alpha $. Это действие допустимо, так как если бы $ \cos\alpha = 0 $, то $ \text{tg}\,\alpha $ был бы не определен, что противоречит условию $ \text{tg}\,\alpha = 2 $.
$ \frac{\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\text{tg}\,\alpha - 1}{\text{tg}\,\alpha + 1} $.
Подставим значение $ \text{tg}\,\alpha = 2 $ в полученное выражение:
$ \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3) Используем тот же подход, что и в предыдущем пункте. Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha - 5\cos\alpha} $ на $ \cos\alpha $:
$ \frac{\frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 3\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\text{tg}\,\alpha + 3}{3\text{tg}\,\alpha - 5} $.
Подставим значение $ \text{tg}\,\alpha = 2 $:
$ \frac{2(2) + 3}{3(2) - 5} = \frac{4 + 3}{6 - 5} = \frac{7}{1} = 7 $.
Ответ: $ 7 $.

4) Для преобразования выражения $ \frac{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} $ разделим числитель и знаменатель на $ \cos^2\alpha $ (так как $ \cos\alpha \neq 0 $):
$ \frac{\frac{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 2\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\text{tg}^2\alpha + 2}{\text{tg}^2\alpha - 1} $.
Так как $ \text{tg}\,\alpha = 2 $, то $ \text{tg}^2\alpha = (2)^2 = 4 $.
Подставим это значение в выражение:
$ \frac{4 + 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 $.
Ответ: $ 2 $.