Номер 999, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

999. Упростить:

1) $ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha; $

2) $ \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}; $

3) $ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha(\cos^2 \alpha + 1); $

4) $ \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 - \sin \alpha}. $

Исходное выражение: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Для упрощения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Из этого тождества следует, что разность $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha$ равна 1.

Подставим это в исходное выражение, сгруппировав первые два члена: $(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Далее, применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого получаем, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до $\cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$.

Исходное выражение: $\cos^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Используем тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Из него следует, что $\text{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = -1$.

Сгруппируем второй и третий члены в исходном выражении и выполним подстановку: $\cos^2 \alpha + (\text{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}) = \cos^2 \alpha - 1$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Следовательно, результат упрощения равен $-\sin^2 \alpha$.

Ответ: $-\sin^2 \alpha$.

Исходное выражение: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha(\cos^2 \alpha + 1)$.

Сначала раскроем скобки, умножив $\text{tg}^2 \alpha$ на каждый член в скобках: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha \cdot 1$.

Теперь упростим член $\text{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$, используя определение тангенса $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$: $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставим полученный результат обратно в выражение: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha$.

Перегруппируем члены, чтобы снова использовать тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Используя основное тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$.

Исходное выражение: $\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 - \sin \alpha}$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$. По формуле разности квадратов, это произведение равно $1^2 - \sin^2 \alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, заменяем $1 - \sin^2 \alpha$ на $\cos^2 \alpha$.

Теперь выполним сложение дробей, домножив числитель первой дроби на $(1 - \sin \alpha)$, а второй — на $(1 + \sin \alpha)$: $\frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha) + \sin \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Данное выражение представлено в виде одной дроби и не подлежит дальнейшему стандартному упрощению.

Ответ: $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Примечание: Зачастую в подобных заданиях на упрощение ответ получается более коротким. Возможно, в условии задачи допущена опечатка и в числителе второй дроби должен стоять $\cos \alpha$. Если предположить, что верное выражение $\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}$, то решение будет следующим:

$\frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha) + \cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha + 1 + \sin \alpha)}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha \cdot 2}{\cos^2 \alpha} = \frac{2}{\cos \alpha}$.