Номер 1004, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1004. Упростить выражение и найти его значение:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$ при $\alpha = \frac{\pi}{4}$;

2) $\cos^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{\pi}{6}$;

3) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$ при $\alpha = \frac{\pi}{3}$;

4) $\cos^2 \alpha + \text{tg}^2 \alpha \text{ctg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

1) Сначала упростим выражение. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, мы можем преобразовать числитель и знаменатель. Из тождества следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$ и $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Подставим эти преобразования в исходную дробь: $\frac{\sin^2\alpha - 1}{1 - \cos^2\alpha} = \frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = -\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2$.
Так как $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, выражение упрощается до $-\cot^2\alpha$.
Теперь найдем значение этого выражения при $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Знаем, что $\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Следовательно, $-\cot^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = -(1)^2 = -1$.
Ответ: -1

2) Упростим выражение $\cos^2\alpha + \cot^2\alpha + \sin^2\alpha$. Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \cot^2\alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. Таким образом, выражение упрощается до $1 + \cot^2\alpha$.
Теперь найдем значение этого выражения при $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Знаем, что $\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $1 + \cot^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
Ответ: 4

3) Упростим выражение $\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Из этого тождества напрямую следует, что $\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \tan^2\alpha$.
Теперь найдем значение выражения при $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Знаем, что $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $\tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: 3

4) Упростим выражение $\cos^2\alpha + \tan^2\alpha\cot^2\alpha + \sin^2\alpha$. Рассмотрим произведение $\tan^2\alpha\cot^2\alpha$. Так как $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ (для всех $\alpha$, где тангенс и котангенс определены), то $\tan^2\alpha\cot^2\alpha = (\tan\alpha\cot\alpha)^2 = 1^2 = 1$.
Подставим это значение в исходное выражение: $\cos^2\alpha + 1 + \sin^2\alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + 1$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $1 + 1 = 2$.
Результат не зависит от значения $\alpha$. Таким образом, при $\alpha = \frac{\pi}{3}$ значение выражения равно 2.
Ответ: 2