Номер 1011, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1011. Решить уравнение:

1) $2\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x = 1;$

2) $2\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2 = 0;$

3) $3\cos^2 x - 2\sin x = 3 - 3\sin^2 x;$

4) $\cos^2 x - \sin^2 x = 2\sin x - 1 - 2\sin^2 x.$

1) $2\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Подставим его в уравнение:

$2\sin x + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$2\sin x = 0$

Разделим обе части на 2:

$\sin x = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2 = 0$

Чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции, используем основное тригонометрическое тождество и выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x) - 2 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x - 2 = 0$

$1 - \sin^2 x = 0$

Отсюда получаем:

$\sin^2 x = 1$

Это уравнение распадается на два: $\sin x = 1$ и $\sin x = -1$.

Решения можно записать по отдельности или объединить в одну серию. Объединенное решение имеет вид:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3\cos^2 x - 2\sin x = 3 - 3\sin^2 x$

Перенесем член $-3\sin^2 x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$3\cos^2 x + 3\sin^2 x - 2\sin x = 3$

В левой части вынесем 3 за скобки:

$3(\cos^2 x + \sin^2 x) - 2\sin x = 3$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$3 \cdot 1 - 2\sin x = 3$

$3 - 2\sin x = 3$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$-2\sin x = 0$

$\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos^2 x - \sin^2 x = 2\sin x - 1 - 2\sin^2 x$

Приведем уравнение к одной тригонометрической функции, выразив $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$ с помощью тождества $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим в уравнение:

$(1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 2\sin x - 1 - 2\sin^2 x$

Упростим левую часть:

$1 - 2\sin^2 x = 2\sin x - 1 - 2\sin^2 x$

Прибавим $2\sin^2 x$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от этого члена:

$1 = 2\sin x - 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $\sin x$. Перенесем -1 в левую часть:

$1 + 1 = 2\sin x$

$2 = 2\sin x$

Разделим обе части на 2:

$\sin x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.