Номер 1008, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1008. Показать, что значение выражения $(a \sin\beta + b \cos\beta)^2 + (b \sin\beta - a \cos\beta)^2$ не зависит от величины угла $\beta$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от величины угла $ \beta $, нужно это выражение упростить.

Исходное выражение: $(a \sin\beta + b \cos\beta)^2 + (b \sin\beta - a \cos\beta)^2$.

Раскроем каждую из скобок, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Для первой скобки:$(a \sin\beta + b \cos\beta)^2 = (a \sin\beta)^2 + 2(a \sin\beta)(b \cos\beta) + (b \cos\beta)^2 = a^2 \sin^2\beta + 2ab \sin\beta \cos\beta + b^2 \cos^2\beta$.

Для второй скобки:$(b \sin\beta - a \cos\beta)^2 = (b \sin\beta)^2 - 2(b \sin\beta)(a \cos\beta) + (a \cos\beta)^2 = b^2 \sin^2\beta - 2ab \sin\beta \cos\beta + a^2 \cos^2\beta$.

Теперь сложим полученные выражения:$(a^2 \sin^2\beta + 2ab \sin\beta \cos\beta + b^2 \cos^2\beta) + (b^2 \sin^2\beta - 2ab \sin\beta \cos\beta + a^2 \cos^2\beta)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2ab \sin\beta \cos\beta$ и $-2ab \sin\beta \cos\beta$ взаимно уничтожаются:$a^2 \sin^2\beta + b^2 \cos^2\beta + b^2 \sin^2\beta + a^2 \cos^2\beta$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами $a^2$ и $b^2$:$(a^2 \sin^2\beta + a^2 \cos^2\beta) + (b^2 \cos^2\beta + b^2 \sin^2\beta)$.

Вынесем общие множители $a^2$ и $b^2$ за скобки:$a^2(\sin^2\beta + \cos^2\beta) + b^2(\cos^2\beta + \sin^2\beta)$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

Подставим значение тождества в наше выражение:$a^2(1) + b^2(1) = a^2 + b^2$.

Полученное выражение $a^2 + b^2$ является константой и не содержит угла $\beta$. Таким образом, мы показали, что значение исходного выражения не зависит от величины угла $\beta$.

Ответ: В результате преобразований получено выражение $a^2 + b^2$, которое не зависит от угла $\beta$, что и требовалось доказать.