Номер 1003, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1003. Упростить выражение:

1) $\cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha - 2 \sin \alpha$;

2) $\cos \alpha - \sin \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha$;

3) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$;

4) $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}$.

1) Для упрощения выражения $\cos \alpha \cdot \tg \alpha - 2 \sin \alpha$ воспользуемся определением тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Подставим это определение в исходное выражение:

$\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 2 \sin \alpha$

Сократим $\cos \alpha$ в первом слагаемом (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$\sin \alpha - 2 \sin \alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin \alpha - 2 \sin \alpha = -\sin \alpha$

Ответ: $-\sin \alpha$

2) Для упрощения выражения $\cos \alpha - \sin \alpha \cdot \ctg \alpha$ воспользуемся определением котангенса: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Подставим это определение в исходное выражение:

$\cos \alpha - \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Сократим $\sin \alpha$ во втором слагаемом (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$):

$\cos \alpha - \cos \alpha$

Выполним вычитание:

$\cos \alpha - \cos \alpha = 0$

Ответ: $0$

3) Для упрощения выражения $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.

Подставим это в числитель дроби:

$\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Разложим числитель на множители как разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha}$

Сократим дробь на $(1 + \cos \alpha)$ (при условии, что $1 + \cos \alpha \neq 0$):

$1 - \cos \alpha$

Ответ: $1 - \cos \alpha$

4) Для упрощения выражения $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}$ снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Подставим это в числитель дроби:

$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}$

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$\frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha}$

Сократим дробь на $(1 - \sin \alpha)$ (при условии, что $1 - \sin \alpha \neq 0$):

$1 + \sin \alpha$

Ответ: $1 + \sin \alpha$