Номер 998, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

998. Известно, что $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$. Найти:

1) $\sin\alpha \cos\alpha$;

2) $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$.

1) $\sin\alpha \cos\alpha$
Для нахождения произведения $\sin\alpha \cos\alpha$, воспользуемся данным равенством $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (\frac{1}{2})^2$
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4}$
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$
$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$
Теперь выразим из этого уравнения искомое произведение. Сначала найдем $2\sin\alpha\cos\alpha$:
$2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} - 1$
$2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} - \frac{4}{4}$
$2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{4}$
Разделим обе части на 2:
$\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}$
Ответ: $-\frac{3}{8}$

2) $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$
Для нахождения значения этого выражения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к нашему выражению:
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)$
Во второй скобке сгруппируем слагаемые и снова применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - \sin\alpha\cos\alpha)$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)$
Теперь подставим известные значения:
Из условия задачи нам известно, что $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$.
Из решения пункта 1 мы нашли, что $\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}$.
Подставляем эти значения в полученную формулу:
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{1}{2} \cdot (1 - (-\frac{3}{8}))$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{3}{8})$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{1}{2} \cdot (\frac{8}{8} + \frac{3}{8})$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8}$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{11}{16}$
Ответ: $\frac{11}{16}$