Номер 1000, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1000. Известно, что $sin \alpha + cos \alpha = p$. Найти:

1) $sin \alpha - cos \alpha$;

2) $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$.

Дано: $\sin \alpha + \cos \alpha = p$.

1) $\sin \alpha - \cos \alpha$;

Для решения этой задачи удобно использовать метод возведения в квадрат.
Возведем в квадрат исходное равенство:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = p^2$
$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = p^2$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = p^2$
Отсюда можно выразить произведение синуса и косинуса:
$2 \sin \alpha \cos \alpha = p^2 - 1$

Теперь обозначим искомое выражение как $x$:
$x = \sin \alpha - \cos \alpha$
Возведем это выражение в квадрат:
$x^2 = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$
$x^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$
Снова используем основное тригонометрическое тождество:
$x^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$x^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Подставим найденное ранее выражение для $2 \sin \alpha \cos \alpha$:
$x^2 = 1 - (p^2 - 1)$
$x^2 = 1 - p^2 + 1$
$x^2 = 2 - p^2$

Извлекая квадратный корень, получаем:
$x = \pm \sqrt{2 - p^2}$
Знак зависит от значения угла $\alpha$, которое нам неизвестно, поэтому в общем случае решением являются оба значения. Заметим, что для существования решения в действительных числах должно выполняться условие $2 - p^2 \ge 0$, то есть $|p| \le \sqrt{2}$, что соответствует области значений выражения $\sin \alpha + \cos \alpha$.
Ответ: $\pm \sqrt{2 - p^2}$

2) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$.

Преобразуем искомое выражение, используя формулу квадрата суммы:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2$
Дополним до полного квадрата суммы:
$(\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 (\sin \alpha \cos \alpha)^2$

Из решения первого пункта мы знаем, что $2 \sin \alpha \cos \alpha = p^2 - 1$.
Отсюда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{p^2 - 1}{2}$.
Подставим это в наше выражение:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \left( \frac{p^2 - 1}{2} \right)^2$
$= 1 - 2 \cdot \frac{(p^2 - 1)^2}{4}$
$= 1 - \frac{(p^2 - 1)^2}{2}$
Раскроем скобки в числителе:
$= 1 - \frac{p^4 - 2p^2 + 1}{2}$
Приведем к общему знаменателю:
$= \frac{2 - (p^4 - 2p^2 + 1)}{2}$
$= \frac{2 - p^4 + 2p^2 - 1}{2}$
$= \frac{1 + 2p^2 - p^4}{2}$
Ответ: $\frac{1 + 2p^2 - p^4}{2}$