Номер 1001, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1001. Известно, что $tg\alpha + ctg\alpha = m$. Найти:

1) $tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha$;

2) $tg\alpha - ctg\alpha$;

3) $tg^3 \alpha + ctg^3 \alpha$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать исходное равенство $ \tg \alpha + \ctg \alpha = m $ и основное тригонометрическое тождество $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $.

1) tg² α + ctg² α;

Чтобы найти сумму квадратов, возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$ (\tg \alpha + \ctg \alpha)^2 = m^2 $

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \tg^2 \alpha + 2 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha + \ctg^2 \alpha = m^2 $

Теперь подставим известное значение $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $ в полученное выражение:

$ \tg^2 \alpha + 2 \cdot 1 + \ctg^2 \alpha = m^2 $

Перенесем 2 в правую часть, чтобы выразить искомую величину:

$ \tg^2 \alpha + \ctg^2 \alpha = m^2 - 2 $

Ответ: $ m^2 - 2 $

2) tg α - ctg α;

Пусть искомое выражение равно $ X $, то есть $ X = \tg \alpha - \ctg \alpha $. Возведем это равенство в квадрат:

$ X^2 = (\tg \alpha - \ctg \alpha)^2 $

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ X^2 = \tg^2 \alpha - 2 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha + \ctg^2 \alpha $

Сгруппируем члены и подставим $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $:

$ X^2 = (\tg^2 \alpha + \ctg^2 \alpha) - 2 $

Из результата первого пункта мы знаем, что $ \tg^2 \alpha + \ctg^2 \alpha = m^2 - 2 $. Подставим это в наше уравнение:

$ X^2 = (m^2 - 2) - 2 $

$ X^2 = m^2 - 4 $

Чтобы найти $ X $, извлечем квадратный корень. Поскольку знак разности $ \tg \alpha - \ctg \alpha $ заранее неизвестен, возможны два решения:

$ X = \pm \sqrt{m^2 - 4} $

Отметим, что для существования действительного угла $ \alpha $ должно выполняться условие $ m^2 - 4 \ge 0 $, то есть $ |m| \ge 2 $.

Ответ: $ \pm \sqrt{m^2 - 4} $

3) tg³ α + ctg³ α.

Для нахождения суммы кубов можно возвести исходное равенство в куб или использовать формулу суммы кубов. Воспользуемся вторым подходом, который является более прямым. Возведем $ \tg \alpha + \ctg \alpha = m $ в куб:

$ (\tg \alpha + \ctg \alpha)^3 = m^3 $

Используем формулу куба суммы $ (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) $:

$ \tg^3 \alpha + \ctg^3 \alpha + 3 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha \cdot (\tg \alpha + \ctg \alpha) = m^3 $

Подставим известные нам значения $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $ и $ \tg \alpha + \ctg \alpha = m $:

$ \tg^3 \alpha + \ctg^3 \alpha + 3 \cdot 1 \cdot m = m^3 $

Упростим и выразим искомую сумму кубов:

$ \tg^3 \alpha + \ctg^3 \alpha = m^3 - 3m $

Ответ: $ m^3 - 3m $