Номер 1007, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1007. Доказать тождество:

1) $(1 - \cos2\alpha)(1 + \cos2\alpha) = \sin^2 2\alpha;$

2) $\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{1 + \sin\alpha};$

3) $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha;$

4) $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha;$

5) $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha};$

6) $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha};$

7) $\frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = 1;$

8) $\text{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \text{tg}^2\alpha \sin^2\alpha.$

1) $(1 - \cos 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) = \sin^2 2\alpha$

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Выражение в левой части представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, которое равно разности их квадратов по формуле $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Применим эту формулу, где $a=1$ и $b=\cos 2\alpha$:

$(1 - \cos 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) = 1^2 - (\cos 2\alpha)^2 = 1 - \cos^2 2\alpha$.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Для нашего случая, где $x = 2\alpha$:

$1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(1 - \cos 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) = 1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.

2) $\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{1 + \sin\alpha}$

Для проверки данного равенства преобразуем его левую часть (ЛЧ). Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

ЛЧ = $\frac{\sin\alpha - 1}{1 - \sin^2\alpha}$.

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

ЛЧ = $\frac{\sin\alpha - 1}{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}$.

В числителе вынесем знак минус за скобки: $\sin\alpha - 1 = -(1 - \sin\alpha)$.

ЛЧ = $\frac{-(1 - \sin\alpha)}{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}$.

Сократим дробь на $(1 - \sin\alpha)$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 1$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения, где $\cos\alpha \neq 0$):

ЛЧ = $\frac{-1}{1 + \sin\alpha}$.

Правая часть (ПЧ) равна $\frac{1}{1 + \sin\alpha}$. Сравнивая преобразованную левую часть и правую часть, видим, что ЛЧ = -ПЧ. Следовательно, исходное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии допущена опечатка. Верным было бы тождество $\frac{1 - \sin\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{1 + \sin\alpha}$ или $\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = -\frac{1}{1 + \sin\alpha}$.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как $\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = -\frac{1}{1 + \sin\alpha} \neq \frac{1}{1 + \sin\alpha}$.

3) $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Преобразуем левую часть, представив ее как разность квадратов:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2\alpha$ и $b = \sin^2\alpha$:

$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Подставим это значение в выражение:

$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot 1 = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

4) $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$

Преобразуем левую часть. Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2 = \sin^4\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\sin^4\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha) + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha$.

Приведем подобные слагаемые:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha + (- 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha) = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha = \sin^4\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$.

5) $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$

Преобразуем левую часть, приведя дроби к общему знаменателю $(1 + \cos\alpha)\sin\alpha$:

$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} + \frac{(1 + \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)^2}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sin^2\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$.

Сгруппируем слагаемые в числителе и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{1 + 1 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$.

Вынесем в числителе 2 за скобки:

$\frac{2(1 + \cos\alpha)}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$.

Сократим дробь на $(1 + \cos\alpha)$:

$\frac{2}{\sin\alpha}$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)^2}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$.

6) $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$

Докажем тождество, преобразовав левую часть. Умножим числитель и знаменатель левой части на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + \cos\alpha)$:

$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}$.

В знаменателе получилась разность квадратов:

$\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{1 - \cos^2\alpha}$.

Используя тождество $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, заменим знаменатель:

$\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}$.

Сократим дробь на $\sin\alpha$ (при условии $\sin\alpha \neq 0$):

$\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$.

7) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = 1$

Для доказательства используем тригонометрические тождества, связывающие тангенс и котангенс с секансом и косекансом:

$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \sec^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \csc^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$.

Упростим полученное выражение:

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

8) $\operatorname{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \operatorname{tg}^2\alpha \sin^2\alpha$

Преобразуем левую часть. Запишем тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\operatorname{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \sin^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\sin^2\alpha$ за скобки:

$\sin^2\alpha \left( \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\sin^2\alpha \left( \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} \right)$.

Используем тождество $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ в числителе дроби в скобках:

$\sin^2\alpha \left( \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \right)$.

По определению, $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha$. Подставим это обратно в выражение:

$\sin^2\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\operatorname{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \sin^2\alpha \left( \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 \right) = \sin^2\alpha \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha \sin^2\alpha$.