Номер 1012, страница 293 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1012. Найти значение выражения $ \operatorname{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \alpha} + \operatorname{ctg}^2 \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = 5 $.

Для решения данной задачи мы будем использовать данное нам условие $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = 5$ для нахождения значений отдельных частей искомого выражения. Искомое выражение: $\text{tg}^2\alpha + \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} + \text{ctg}^2\alpha$.

1. Найдем значение выражения $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Для этого преобразуем левую часть данного нам равенства, используя определения тангенса и котангенса: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

$\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Так как по условию $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = 5$, то и $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = 5$. Мы нашли значение среднего члена искомого выражения.

2. Найдем значение выражения $\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha$.

Для этого возведем обе части исходного равенства $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = 5$ в квадрат:

$(\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha)^2 = 5^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\text{tg}^2\alpha + 2 \cdot \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 25$

Мы знаем, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$\text{tg}^2\alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\alpha = 25$

$\text{tg}^2\alpha + 2 + \text{ctg}^2\alpha = 25$

Отсюда выразим сумму квадратов тангенса и котангенса:

$\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 25 - 2 = 23$.

3. Найдем значение исходного выражения.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение. Исходное выражение можно сгруппировать следующим образом:

$(\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha) + \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Подставляем найденные значения: $23 + 5 = 28$.

Ответ: 28