Номер 1017, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1017. Упростить выражение:

1) $ \text{tg}(-\alpha)\cos \alpha + \sin \alpha; $

2) $ \cos \alpha - \text{ctg}\, \alpha \sin(-\alpha); $

3) $ \frac{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}; $

4) $ \text{tg}(-\alpha)\text{ctg}(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2 \alpha. $

Исходное выражение: $tg(-\alpha)\cos\alpha + \sin\alpha$.
Для упрощения используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций. Тангенс является нечетной функцией, поэтому $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
Подставим это в выражение:
$-tg(\alpha)\cos\alpha + \sin\alpha$
Теперь используем определение тангенса: $tg(\alpha) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Заменим $tg(\alpha)$ в нашем выражении:
$-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha + \sin\alpha$
Сократим $\cos\alpha$ в первом слагаемом:
$-\sin\alpha + \sin\alpha = 0$

Ответ: 0.

Исходное выражение: $\cos\alpha - ctg\alpha\sin(-\alpha)$.
Синус является нечетной функцией, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Подставим это в выражение:
$\cos\alpha - ctg\alpha(-\sin\alpha) = \cos\alpha + ctg\alpha\sin\alpha$
Теперь используем определение котангенса: $ctg(\alpha) = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Заменим $ctg(\alpha)$ в нашем выражении:
$\cos\alpha + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha$
Сократим $\sin\alpha$ во втором слагаемом:
$\cos\alpha + \cos\alpha = 2\cos\alpha$

Ответ: $2\cos\alpha$.

Исходное выражение: $\frac{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}$.
Упростим числитель, используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$):
$\cos\alpha - \sin\alpha$
Теперь рассмотрим знаменатель. Выражение $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ является формулой косинуса двойного угла, а также разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}$
Сократим общий множитель $(\cos\alpha - \sin\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos\alpha \neq \sin\alpha$):
$\frac{1}{\cos\alpha + \sin\alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\cos\alpha + \sin\alpha}$.

Исходное выражение: $tg(-\alpha)ctg(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2\alpha$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности:
1. Произведение $tg(-\alpha)ctg(-\alpha)$. Так как тангенс и котангенс - нечетные функции, то $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$ и $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Их произведение равно $(-tg\alpha)(-ctg\alpha) = tg\alpha \cdot ctg\alpha$. По основному тригонометрическому тождеству $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
2. Слагаемое $\cos^2(-\alpha)$. Косинус - четная функция, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Следовательно, $\cos^2(-\alpha) = (\cos(-\alpha))^2 = (\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$.
Подставим упрощенные части обратно в выражение:
$1 + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$
Выражение $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$ является основным тригонометрическим тождеством и равно 1.
Получаем:
$1 + 1 = 2$

Ответ: 2.