Номер 1021, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1021. Решить уравнение:

1) $\sin(-x) = 1$;

2) $\cos(-2x) = 0$;

3) $\cos(-2x) = 1$;

4) $\sin(-2x) = 0$;

5) $\cos^2(-x) + \sin(-x) = 2 - \sin^2x$;

6) $1 - \sin^2(-x) + \cos(4\pi - x) = \cos(x - 2\pi)$.

1) Исходное уравнение: $sin(-x) = 1$.
Используем свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$:
$-sin(x) = 1$
$sin(x) = -1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $cos(-2x) = 0$.
Используем свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$:
$cos(2x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $cos(-2x) = 1$.
Используем свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$:
$cos(2x) = 1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$2x = 2\pi n$, где $n \in Z$.
Разделим обе части на 2:
$x = \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pi n, n \in Z$.

4) Исходное уравнение: $sin(-2x) = 0$.
Используем свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$:
$-sin(2x) = 0$
$sin(2x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$2x = \pi n$, где $n \in Z$.
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

5) Исходное уравнение: $cos^2(-x) + sin(-x) = 2 - sin^2x$.
Упростим левую часть, используя свойства четности косинуса и нечетности синуса:
$cos^2(-x) = (cos(-x))^2 = (cos(x))^2 = cos^2x$
$sin(-x) = -sin(x)$
Подставим в уравнение:
$cos^2x - sin(x) = 2 - sin^2x$
Перенесем все члены с $sin^2x$ в одну сторону:
$cos^2x + sin^2x - sin(x) = 2$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$:
$1 - sin(x) = 2$
$-sin(x) = 2 - 1$
$-sin(x) = 1$
$sin(x) = -1$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

6) Исходное уравнение: $1 - sin^2(-x) + cos(4\pi - x) = cos(x - 2\pi)$.
Упростим каждый член уравнения, используя свойства тригонометрических функций:
$sin^2(-x) = (sin(-x))^2 = (-sin(x))^2 = sin^2x$
$cos(4\pi - x) = cos(-x) = cos(x)$ (так как период косинуса $2\pi$, а функция четная)
$cos(x - 2\pi) = cos(x)$ (так как период косинуса $2\pi$)
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$1 - sin^2x + cos(x) = cos(x)$
Вычтем $cos(x)$ из обеих частей:
$1 - sin^2x = 0$
Из основного тригонометрического тождества $sin^2x + cos^2x = 1$, следует, что $1 - sin^2x = cos^2x$.
$cos^2x = 0$
$cos(x) = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.