Номер 1027, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1027. Упростить выражение:

1) $cos3\alpha cos\alpha - sin\alpha sin3\alpha;$

2) $cos5\beta cos2\beta + sin5\beta sin2\beta;$

3) $cos(\frac{\pi}{7} + \alpha) cos(\frac{15\pi}{14} - \alpha) - sin(\frac{\pi}{7} + \alpha) sin(\frac{15\pi}{14} - \alpha);$

4) $cos(\frac{7\pi}{5} + \alpha) cos(\frac{2\pi}{5} + \alpha) + sin(\frac{7\pi}{5} + \alpha) sin(\frac{2\pi}{5} + \alpha).$

1) Данное выражение: $ \cos{3\alpha}\cos{\alpha} - \sin{\alpha}\sin{3\alpha} $.
Заметим, что $ \sin{\alpha}\sin{3\alpha} = \sin{3\alpha}\sin{\alpha} $. Тогда выражение можно переписать в виде: $ \cos{3\alpha}\cos{\alpha} - \sin{3\alpha}\sin{\alpha} $.
Это соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(x+y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} $.
В нашем случае $ x = 3\alpha $ и $ y = \alpha $. Применим формулу:
$ \cos{3\alpha}\cos{\alpha} - \sin{3\alpha}\sin{\alpha} = \cos(3\alpha + \alpha) = \cos(4\alpha) $.
Ответ: $ \cos(4\alpha) $.

2) Данное выражение: $ \cos{5\beta}\cos{2\beta} + \sin{5\beta}\sin{2\beta} $.
Это соответствует формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(x-y) = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y} $.
В нашем случае $ x = 5\beta $ и $ y = 2\beta $. Применим формулу:
$ \cos{5\beta}\cos{2\beta} + \sin{5\beta}\sin{2\beta} = \cos(5\beta - 2\beta) = \cos(3\beta) $.
Ответ: $ \cos(3\beta) $.

3) Данное выражение: $ \cos(\frac{\pi}{7} + \alpha)\cos(\frac{15\pi}{14} - \alpha) - \sin(\frac{\pi}{7} + \alpha)\sin(\frac{15\pi}{14} - \alpha) $.
Воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(x+y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} $.
Здесь $ x = \frac{\pi}{7} + \alpha $ и $ y = \frac{15\pi}{14} - \alpha $.
Применяя формулу, получаем:
$ \cos\left(\left(\frac{\pi}{7} + \alpha\right) + \left(\frac{15\pi}{14} - \alpha\right)\right) $.
Упростим выражение в скобках:
$ \frac{\pi}{7} + \alpha + \frac{15\pi}{14} - \alpha = \frac{2\pi}{14} + \frac{15\pi}{14} = \frac{17\pi}{14} $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(\frac{17\pi}{14}) $.
Можно упростить это значение, используя формулы приведения:
$ \cos(\frac{17\pi}{14}) = \cos(\pi + \frac{3\pi}{14}) = -\cos(\frac{3\pi}{14}) $.
Ответ: $ -\cos(\frac{3\pi}{14}) $.

4) Данное выражение: $ \cos(\frac{7\pi}{5} + \alpha)\cos(\frac{2\pi}{5} + \alpha) + \sin(\frac{7\pi}{5} + \alpha)\sin(\frac{2\pi}{5} + \alpha) $.
Воспользуемся формулой косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y} $.
Здесь $ x = \frac{7\pi}{5} + \alpha $ и $ y = \frac{2\pi}{5} + \alpha $.
Применяя формулу, получаем:
$ \cos\left(\left(\frac{7\pi}{5} + \alpha\right) - \left(\frac{2\pi}{5} + \alpha\right)\right) $.
Упростим выражение в скобках:
$ \frac{7\pi}{5} + \alpha - \frac{2\pi}{5} - \alpha = \frac{7\pi - 2\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} = \pi $.
Таким образом, исходное выражение равно $ \cos(\pi) $.
Значение $ \cos(\pi) $ равно -1.
Ответ: $ -1 $.