Номер 1031, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1031. Вычислить $\cos(\alpha + \beta)$ и $\cos(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$ и $\frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi$, $\sin\beta = \frac{8}{17}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Для решения задачи нам понадобятся формулы косинуса суммы и косинуса разности углов:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

Прежде всего, найдем значения $cos\alpha$ и $cos\beta$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$ и информацию о четвертях, в которых находятся углы $\alpha$ и $\beta$.

Для угла $\alpha$ известно, что $sin\alpha = -\frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот промежуток соответствует IV четверти, где косинус положителен ($cos\alpha > 0$).

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Следовательно, $cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Для угла $\beta$ известно, что $sin\beta = \frac{8}{17}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Этот промежуток соответствует I четверти, где косинус также положителен ($cos\beta > 0$).

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289-64}{289} = \frac{225}{289}$

Следовательно, $cos\beta = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

Теперь мы можем вычислить искомые выражения.

cos(α + β)

Подставим известные значения ($sin\alpha = -\frac{3}{5}$, $cos\alpha = \frac{4}{5}$, $sin\beta = \frac{8}{17}$, $cos\beta = \frac{15}{17}$) в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} - (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} - (-\frac{24}{85}) = \frac{60 + 24}{85} = \frac{84}{85}$

Ответ: $cos(\alpha + \beta) = \frac{84}{85}$.

cos(α - β)

Подставим те же значения в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{36}{85}$

Ответ: $cos(\alpha - \beta) = \frac{36}{85}$.