Номер 1029, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1029. Вычислить:

1) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$, если $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

2) $\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$, если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Для вычисления $sin(\alpha + \frac{\pi}{6})$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Применяя эту формулу, получаем: $sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = sin(\alpha)cos(\frac{\pi}{6}) + cos(\alpha)sin(\frac{\pi}{6})$.

По условию задачи, $cos(\alpha) = -\frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $π < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти.

Найдем $sin(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти, его синус отрицателен, поэтому $sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь подставим известные значения в формулу синуса суммы. Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}$.

Ответ: $-\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}$

2) Для вычисления $sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.

Применяя эту формулу, получаем: $sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{4})sin(\alpha)$.

По условию задачи, $sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти.

Найдем $cos(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен, поэтому $cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Теперь подставим известные значения в формулу синуса разности. Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{7}}{3}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{\sqrt{14}}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{2 + \sqrt{14}}{6}$.

Ответ: $-\frac{2 + \sqrt{14}}{6}$