Номер 1036, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (1036-1037).

1036. 1) $\frac{\text{tg}29^\circ + \text{tg}31^\circ}{1 - \text{tg}29^\circ \text{tg}31^\circ}$

2) $\frac{\text{tg}\frac{7}{16}\pi - \text{tg}\frac{3}{16}\pi}{1 + \text{tg}\frac{7}{16}\pi \text{tg}\frac{3}{16}\pi}$

3) $\frac{1 + \text{tg}10^\circ \text{tg}55^\circ}{\text{tg}55^\circ - \text{tg}10^\circ}$

4) $\frac{1 - \text{tg}13^\circ \text{tg}17^\circ}{\text{tg}17^\circ + \text{tg}13^\circ}$

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В нашем случае $\alpha = 29^\circ$ и $\beta = 31^\circ$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$\frac{\text{tg}29^\circ + \text{tg}31^\circ}{1 - \text{tg}29^\circ \text{tg}31^\circ} = \text{tg}(29^\circ + 31^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$

Значение тангенса 60 градусов является табличным:

$\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

2) Для вычисления данного выражения применим формулу тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В данном примере $\alpha = \frac{7\pi}{16}$ и $\beta = \frac{3\pi}{16}$. Подставим значения в формулу:

$\frac{\text{tg}\frac{7\pi}{16} - \text{tg}\frac{3\pi}{16}}{1 + \text{tg}\frac{7\pi}{16} \text{tg}\frac{3\pi}{16}} = \text{tg}(\frac{7\pi}{16} - \frac{3\pi}{16}) = \text{tg}(\frac{4\pi}{16}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4})$

Значение тангенса $\frac{\pi}{4}$ (или 45 градусов) равно 1.

$\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

Ответ: $1$

3) Данное выражение можно преобразовать, заметив, что оно является обратным к формуле тангенса разности, или же соответствует формуле котангенса разности.

Формула котангенса разности двух углов:

$\text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}$

В нашем случае $\alpha = 55^\circ$ и $\beta = 10^\circ$. Применим формулу:

$\frac{1 + \text{tg}10^\circ \text{tg}55^\circ}{\text{tg}55^\circ - \text{tg}10^\circ} = \text{ctg}(55^\circ - 10^\circ) = \text{ctg}(45^\circ)$

Значение котангенса 45 градусов равно 1.

$\text{ctg}(45^\circ) = 1$

Ответ: $1$

4) Это выражение соответствует формуле котангенса суммы двух углов.

Формула котангенса суммы двух углов:

$\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$

В нашем примере $\alpha = 17^\circ$ и $\beta = 13^\circ$ (или наоборот, так как сложение и умножение коммутативны). Подставим значения:

$\frac{1 - \text{tg}13^\circ \text{tg}17^\circ}{\text{tg}17^\circ + \text{tg}13^\circ} = \text{ctg}(17^\circ + 13^\circ) = \text{ctg}(30^\circ)$

Значение котангенса 30 градусов является табличным:

$\text{ctg}(30^\circ) = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$