Номер 1042, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1042. 1) $\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta + (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta)\operatorname{ctg} (\alpha + \beta);$

2) $(\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta)\operatorname{ctg} (\alpha - \beta) - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta;$

3) $\frac{3\operatorname{ctg}^215^\circ - 1}{3 - \operatorname{ctg}^215^\circ};$

4) $\frac{\operatorname{tg}50^\circ - \operatorname{tg}5^\circ - 1}{\operatorname{tg}50^\circ \operatorname{tg}5^\circ}.$

1) Упростим выражение $\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta + (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta)\,\text{ctg}(\alpha + \beta)$.

Воспользуемся формулой котангенса суммы двух углов, выраженной через тангенсы:

$\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha + \beta)} = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta}$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta + (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta) \cdot \frac{1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta}$.

При условии, что $\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta \neq 0$ (чтобы $\text{ctg}(\alpha+\beta)$ был определен), мы можем сократить дробь:

$\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta + (1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta)$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta + 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Упростим выражение $(\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta)\,\text{ctg}(\alpha - \beta) - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta$.

Воспользуемся формулой котангенса разности двух углов, выраженной через тангенсы:

$\text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha - \beta)} = \frac{1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta}$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$(\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta) \cdot \frac{1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta} - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta$.

При условии, что $\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta \neq 0$ (чтобы $\text{ctg}(\alpha-\beta)$ был определен), мы можем сократить дробь:

$(1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta) - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta$.

Приведем подобные слагаемые:

$1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta = 1$.

Ответ: 1

3) Вычислим значение выражения $\frac{3\text{ctg}^2 15^\circ - 1}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ}$.

Воспользуемся формулой котангенса тройного угла: $\text{ctg}(3\alpha) = \frac{\text{ctg}^3\alpha - 3\text{ctg}\,\alpha}{3\text{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{\text{ctg}\,\alpha(\text{ctg}^2\alpha - 3)}{3\text{ctg}^2\alpha - 1}$.

Пусть $\alpha = 15^\circ$. Тогда $3\alpha = 45^\circ$, и $\text{ctg}(3\alpha) = \text{ctg}(45^\circ) = 1$.

Подставим это в формулу:

$1 = \frac{\text{ctg}\,15^\circ(\text{ctg}^2 15^\circ - 3)}{3\text{ctg}^2 15^\circ - 1}$.

Отсюда следует, что числитель и знаменатель равны:

$3\text{ctg}^2 15^\circ - 1 = \text{ctg}\,15^\circ(\text{ctg}^2 15^\circ - 3)$.

Теперь подставим это равенство в числитель исходного выражения:

$\frac{3\text{ctg}^2 15^\circ - 1}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ} = \frac{\text{ctg}\,15^\circ(\text{ctg}^2 15^\circ - 3)}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ}$.

Вынесем минус из скобки в числителе:

$\frac{-\text{ctg}\,15^\circ(3 - \text{ctg}^2 15^\circ)}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ}$.

Сократив дробь, получим:

$-\text{ctg}\,15^\circ$.

Осталось вычислить значение $\text{ctg}\,15^\circ$. Представим $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$:

$\text{ctg}\,15^\circ = \text{ctg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{ctg}\,45^\circ \text{ctg}\,30^\circ + 1}{\text{ctg}\,30^\circ - \text{ctg}\,45^\circ} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

Таким образом, искомое значение равно $-(2 + \sqrt{3})$.

Ответ: $-(2 + \sqrt{3})$

4) Вычислим значение выражения $\frac{\text{tg}\,50^\circ - \text{tg}\,5^\circ - 1}{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ}$.

Рассмотрим формулу тангенса разности: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta}{1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}$.

Применим ее для углов $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 5^\circ$. Их разность равна $50^\circ - 5^\circ = 45^\circ$.

$\text{tg}(50^\circ - 5^\circ) = \text{tg}(45^\circ) = 1$.

Таким образом, мы имеем равенство:

$1 = \frac{\text{tg}\,50^\circ - \text{tg}\,5^\circ}{1 + \text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ}$.

Из этого равенства выразим разность тангенсов:

$\text{tg}\,50^\circ - \text{tg}\,5^\circ = 1 \cdot (1 + \text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ) = 1 + \text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ$.

Теперь подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{(\text{tg}\,50^\circ - \text{tg}\,5^\circ) - 1}{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ} = \frac{(1 + \text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ) - 1}{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ}$.

Упростим числитель:

$\frac{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ}{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ} = 1$.

Ответ: 1