Номер 1047, страница 300 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить, не используя калькулятор (1047–1049).

1047. 1) $2\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$; 2) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

3) $\frac{2\operatorname{tg}15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}$; 4) $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$.

1) Для вычисления выражения $2\sin15^\circ \cdot \cos15^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$.
В данном случае $\alpha = 15^\circ$.
Подставим значение угла в формулу:
$2\sin15^\circ \cdot \cos15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Выражение $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Здесь $\alpha = 15^\circ$.
Применим формулу:
$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.
Табличное значение $\cos(30^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Дробь $\frac{2\text{tg}15^\circ}{1 - \text{tg}^2 15^\circ}$ является формулой тангенса двойного угла: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$.
В этом выражении $\alpha = 15^\circ$.
Используем формулу:
$\frac{2\text{tg}15^\circ}{1 - \text{tg}^2 15^\circ} = \text{tg}(2 \cdot 15^\circ) = \text{tg}(30^\circ)$.
Значение $\text{tg}(30^\circ)$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или, избавившись от иррациональности в знаменателе, $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Чтобы вычислить $(\cos75^\circ - \sin75^\circ)^2$, раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\cos75^\circ - \sin75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2\cos75^\circ \sin75^\circ + \sin^2 75^\circ$.
Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - 2\sin75^\circ \cos75^\circ$.
Выражение в скобках, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, равно единице.
Выражение $2\sin75^\circ \cos75^\circ$ соответствует формуле синуса двойного угла $\sin(2\alpha)$.
Таким образом, получаем:
$1 - \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 - \sin(150^\circ)$.
Используем формулу приведения: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Подставляем полученное значение в выражение: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.