Номер 1048, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1048. 1) $2\sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8}$

2) $\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}$

3) $\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}}$

4) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^2$

1) Для решения этого выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.

В данном случае, $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Следовательно, выражение можно преобразовать следующим образом:

$2sin\frac{\pi}{8} \cdot cos\frac{\pi}{8} = sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = sin(\frac{2\pi}{8}) = sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Здесь, так же как и в предыдущем примере, $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Применим формулу:

$cos^2\frac{\pi}{8} - sin^2\frac{\pi}{8} = cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = cos(\frac{2\pi}{8}) = cos(\frac{\pi}{4})$.

Табличное значение $cos(\frac{\pi}{4})$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) Данная дробь является формулой тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.

В этом выражении $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{2tg\frac{\pi}{8}}{1 - tg^2\frac{\pi}{8}} = tg(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = tg(\frac{2\pi}{8}) = tg(\frac{\pi}{4})$.

Значение $tg(\frac{\pi}{4})$ равно $1$.

Ответ: $1$

4) Для решения этого примера сначала упростим выражение в скобках, возведенное в квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{\pi}{8})^2 = cos^2\frac{\pi}{8} + 2cos\frac{\pi}{8}sin\frac{\pi}{8} + sin^2\frac{\pi}{8}$.

Сгруппируем слагаемые: $(sin^2\frac{\pi}{8} + cos^2\frac{\pi}{8}) + 2sin\frac{\pi}{8}cos\frac{\pi}{8}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2sin\alpha cos\alpha = sin(2\alpha)$, получаем:

$1 + sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1 + sin(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{\pi}{8})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.

Ответ: $-1$