Страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1048. 1) $2\sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8}$

2) $\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}$

3) $\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}}$

4) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^2$

1) Для решения этого выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.

В данном случае, $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Следовательно, выражение можно преобразовать следующим образом:

$2sin\frac{\pi}{8} \cdot cos\frac{\pi}{8} = sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = sin(\frac{2\pi}{8}) = sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Здесь, так же как и в предыдущем примере, $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Применим формулу:

$cos^2\frac{\pi}{8} - sin^2\frac{\pi}{8} = cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = cos(\frac{2\pi}{8}) = cos(\frac{\pi}{4})$.

Табличное значение $cos(\frac{\pi}{4})$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) Данная дробь является формулой тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.

В этом выражении $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{2tg\frac{\pi}{8}}{1 - tg^2\frac{\pi}{8}} = tg(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = tg(\frac{2\pi}{8}) = tg(\frac{\pi}{4})$.

Значение $tg(\frac{\pi}{4})$ равно $1$.

Ответ: $1$

4) Для решения этого примера сначала упростим выражение в скобках, возведенное в квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{\pi}{8})^2 = cos^2\frac{\pi}{8} + 2cos\frac{\pi}{8}sin\frac{\pi}{8} + sin^2\frac{\pi}{8}$.

Сгруппируем слагаемые: $(sin^2\frac{\pi}{8} + cos^2\frac{\pi}{8}) + 2sin\frac{\pi}{8}cos\frac{\pi}{8}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2sin\alpha cos\alpha = sin(2\alpha)$, получаем:

$1 + sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1 + sin(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{\pi}{8})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.

Ответ: $-1$

1049. 1) $2\sin 75^{\circ} \cdot \cos 75^{\circ}$;

2) $\cos^2 75^{\circ} - \sin^2 75^{\circ}$;

3) $\frac{6\text{tg}75^{\circ}}{1 - \text{tg}^275^{\circ}}$;

4) $\frac{\text{tg}^222^{\circ}30' - 1}{\text{tg}22^{\circ}30'}$.

1) Данное выражение $2\sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ$ соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае, $\alpha = 75^\circ$. Применяя формулу, получаем: $2\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin(150^\circ)$. Чтобы найти значение $\sin(150^\circ)$, воспользуемся формулой приведения: $\sin(180^\circ - \beta) = \sin\beta$. $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$. Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Выражение $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ$ является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Здесь $\alpha = 75^\circ$. Подставим значение в формулу: $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos(150^\circ)$. Для вычисления $\cos(150^\circ)$ используем формулу приведения: $\cos(180^\circ - \beta) = -\cos\beta$. $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$. Табличное значение косинуса 30 градусов: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{6\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ}$. Оно похоже на формулу тангенса двойного угла: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$. Преобразуем исходное выражение, вынеся множитель 3: $\frac{6\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ} = 3 \cdot \frac{2\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ}$. В данном случае $\alpha = 75^\circ$. Часть выражения после множителя 3 является тангенсом двойного угла: $3 \cdot \tan(2 \cdot 75^\circ) = 3 \cdot \tan(150^\circ)$. Воспользуемся формулой приведения для тангенса: $\tan(180^\circ - \beta) = -\tan\beta$. $\tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ)$. Табличное значение тангенса 30 градусов: $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Тогда $\tan(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Окончательный результат: $3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

4) Рассмотрим выражение $\frac{\tan^2 22^\circ 30' - 1}{\tan 22^\circ 30'}$. Сначала преобразуем его, вынеся минус за дробь: $\frac{\tan^2 22^\circ 30' - 1}{\tan 22^\circ 30'} = - \frac{1 - \tan^2 22^\circ 30'}{\tan 22^\circ 30'}$. Вспомним формулу котангенса двойного угла через тангенс: $\cot(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2\alpha}{2\tan\alpha}$. Из этой формулы следует, что $\frac{1 - \tan^2\alpha}{\tan\alpha} = 2\cot(2\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 22^\circ 30'$. Угол $22^\circ 30'$ равен $22.5^\circ$. Тогда исходное выражение равно: $- (2\cot(2 \cdot 22.5^\circ)) = -2\cot(45^\circ)$. Значение котангенса 45 градусов равно 1: $\cot(45^\circ) = 1$. Таким образом, результат равен $-2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: $-2$

1050. Вычислить $ \sin2\alpha $, если:

1) $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

2) $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

1) Для вычисления $sin(2\alpha)$ используется формула синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.
По условию нам дано $sin\alpha = \frac{3}{5}$. Чтобы найти $sin(2\alpha)$, нам необходимо сначала вычислить $cos\alpha$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $cos^2\alpha$:
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$.
Подставим известное значение $sin\alpha$:
$cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
В условии сказано, что угол $\alpha$ находится в промежутке $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти косинус имеет отрицательное значение, следовательно, мы выбираем $cos\alpha = -\frac{4}{5}$.
Теперь можем найти $sin(2\alpha)$:
$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{24}{25}$.
Ответ: $-\frac{24}{25}$.

2) Аналогично первому пункту, используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.
Нам известно, что $cos\alpha = -\frac{4}{5}$. Найдем значение $sin\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ выразим $sin^2\alpha$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.
Подставим известное значение $cos\alpha$:
$sin^2\alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
Отсюда $sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
По условию, угол $\alpha$ находится в промежутке $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти синус имеет отрицательное значение, поэтому мы выбираем $sin\alpha = -\frac{3}{5}$.
Теперь вычислим $sin(2\alpha)$:
$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$.

1051. Вычислить $ \cos2\alpha $, если:

1) $ \cos\alpha = \frac{4}{5} $;

2) $ \sin\alpha = -\frac{3}{5} $.

1) Для вычисления $cos(2\alpha)$, зная $cos(\alpha)$, удобнее всего использовать формулу косинуса двойного угла, выраженную через косинус одинарного угла: $cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1$.
Нам дано, что $cos(\alpha) = \frac{4}{5}$. Подставим это значение в формулу:
$cos(2\alpha) = 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1$
Сначала возводим в квадрат:
$cos(2\alpha) = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1$
Затем выполняем умножение:
$cos(2\alpha) = \frac{32}{25} - 1$
Приводим к общему знаменателю и вычитаем:
$cos(2\alpha) = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{32 - 25}{25} = \frac{7}{25}$
Ответ: $\frac{7}{25}$.

2) Для вычисления $cos(2\alpha)$, зная $sin(\alpha)$, удобнее всего использовать формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус одинарного угла: $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$.
Нам дано, что $sin(\alpha) = -\frac{3}{5}$. Подставим это значение в формулу:
$cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2$
Сначала возводим в квадрат (минус на минус дает плюс):
$cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25}$
Затем выполняем умножение:
$cos(2\alpha) = 1 - \frac{18}{25}$
Приводим к общему знаменателю и вычитаем:
$cos(2\alpha) = \frac{25}{25} - \frac{18}{25} = \frac{25 - 18}{25} = \frac{7}{25}$
Ответ: $\frac{7}{25}$.

1052. Вычислить $tg2\alpha$, если $tg\alpha = 0,5$.

Для вычисления значения $ \tg(2\alpha) $ воспользуемся тригонометрической формулой тангенса двойного угла:

$$ \tg(2\alpha) = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha} $$

Согласно условию задачи, нам известно значение $ \tg\alpha = 0,5 $. Подставим это значение в формулу.

Вычислим числитель дроби:

$$ 2\tg\alpha = 2 \cdot 0,5 = 1 $$

Теперь вычислим знаменатель дроби:

$$ 1 - \tg^2\alpha = 1 - (0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75 $$

Подставим полученные значения числителя и знаменателя обратно в формулу для $ \tg(2\alpha) $:

$$ \tg(2\alpha) = \frac{1}{0,75} $$

Чтобы получить ответ в виде обыкновенной дроби, представим $ 0,75 $ как $ \frac{3}{4} $:

$$ \tg(2\alpha) = \frac{1}{\frac{3}{4}} = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} $$

Ответ: $ \frac{4}{3} $

Упростить выражение (1053—1054).

1053. 1) $2\cos40^\circ \cdot \cos50^\circ$; 2) $2\sin25^\circ \cdot \sin65^\circ$;

3) $\sin2\alpha + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2$; 4) $\cos4\alpha + \sin^2 2\alpha$.

1) Для упрощения выражения $2cos40° ⋅ cos50°$ воспользуемся формулой приведения $cos(90° - α) = sinα$. Преобразуем $cos50°$: $cos50° = cos(90° - 40°) = sin40°$. Подставив это в исходное выражение, получим $2cos40° ⋅ sin40°$. Далее применим формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2sinαcosα$, где $α = 40°$. Таким образом, $2sin40°cos40° = sin(2 ⋅ 40°) = sin80°$.
Ответ: $sin80°$

2) Для упрощения выражения $2sin25° ⋅ sin65°$ используем формулу приведения $sin(90° - α) = cosα$. Преобразуем $sin65°$: $sin65° = sin(90° - 25°) = cos25°$. Подставив это в исходное выражение, получим $2sin25° ⋅ cos25°$. Это выражение соответствует формуле синуса двойного угла $sin(2α) = 2sinαcosα$, где $α = 25°$. Таким образом, $2sin25°cos25° = sin(2 ⋅ 25°) = sin50°$.
Ответ: $sin50°$

3) Рассмотрим выражение $sin2α + (sinα - cosα)²$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)² = a² - 2ab + b²$: $(sinα - cosα)² = sin²α - 2sinαcosα + cos²α$. Применим основное тригонометрическое тождество $sin²α + cos²α = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2sinαcosα$. Тогда $(sin²α + cos²α) - 2sinαcosα = 1 - sin(2α)$. Подставим полученное выражение в исходное: $sin(2α) + (1 - sin(2α)) = sin(2α) + 1 - sin(2α) = 1$.
Ответ: 1

4) В выражении $cos4α + sin²2α$ представим $cos4α$ через формулу косинуса двойного угла $cos(2θ) = 1 - 2sin²θ$. В нашем случае $θ = 2α$, поэтому $cos(4α) = cos(2 ⋅ 2α) = 1 - 2sin²(2α)$. Подставим это в исходное выражение: $(1 - 2sin²(2α)) + sin²(2α)$. Упрощаем, приводя подобные слагаемые: $1 - 2sin²(2α) + sin²(2α) = 1 - sin²(2α)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - sin²θ = cos²θ$. Применив это для $θ = 2α$, получаем $1 - sin²(2α) = cos²(2α)$.
Ответ: $cos²(2α)$

1054. 1) $\frac{\sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}$

2) $\frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha}$

1)

Для упрощения выражения $\frac{\sin2\alpha}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1}$ необходимо преобразовать его знаменатель. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - 1$
Далее применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Таким образом, знаменатель принимает вид:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha$
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла для числителя: $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:
$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = 1$
Данное равенство справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю.

Ответ: $1$

2)

Для упрощения выражения $\frac{1 + \cos2\alpha}{1 - \cos2\alpha}$ воспользуемся формулами для косинуса двойного угла. Удобно использовать следующие формы, которые также известны как формулы понижения степени:
$1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$
$1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\frac{1 + \cos2\alpha}{1 - \cos2\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{2\sin^2\alpha}$
Сократим общий множитель 2:
$\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$
По определению котангенса $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, следовательно, полученная дробь равна $\cot^2\alpha$.

Ответ: $\cot^2\alpha$

1055. Доказать тождество:

1) $\sin 2\alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1$;

2) $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha$;

3) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha$;

4) $2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1$.

1) Докажем тождество $\sin(2\alpha) = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1$.

Для этого преобразуем правую часть выражения. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - 1$.

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1$.

Упростив выражение, получаем:

$2\sin\alpha\cos\alpha$.

Согласно формуле синуса двойного угла, $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.

Таким образом, мы преобразовали правую часть равенства к левой: $\sin(2\alpha) = \sin(2\alpha)$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - \sin(2\alpha)$.

Преобразуем левую часть выражения. Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, заменим выражение $2\sin\alpha\cos\alpha$:

$1 - \sin(2\alpha)$.

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos(2\alpha)$.

Преобразуем левую часть. Представим ее как разность квадратов, используя формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2 = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$.

Выражение во второй скобке, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно единице: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Выражение в первой скобке является формулой косинуса двойного угла: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Подставим полученные значения обратно в преобразованное выражение:

$(\cos(2\alpha)) \cdot 1 = \cos(2\alpha)$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $2\cos^2\alpha - \cos(2\alpha) = 1$.

Преобразуем левую часть выражения. Для этого используем одну из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим эту формулу в левую часть исходного тождества:

$2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1056. Вычислить $\sin 2\alpha$, если:

1) $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $\sin \alpha - \cos \alpha = -\frac{1}{3}$.

1) Дано: $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$.

Чтобы найти $\sin2\alpha$, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4}$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$

$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$

Теперь заменим $2\sin\alpha\cos\alpha$ на $\sin2\alpha$:

$1 + \sin2\alpha = \frac{1}{4}$

Выразим $\sin2\alpha$:

$\sin2\alpha = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$

2) Дано: $\sin\alpha - \cos\alpha = -\frac{1}{3}$.

Аналогично первому пункту, будем использовать формулу $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Возведем обе части данного равенства в квадрат:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = (-\frac{1}{3})^2$

$\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{9}$

Используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получим:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{9}$

$1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{9}$

Заменим $2\sin\alpha\cos\alpha$ на $\sin2\alpha$:

$1 - \sin2\alpha = \frac{1}{9}$

Выразим $\sin2\alpha$:

$\sin2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

1057. Доказать тождество:

1) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha - 1;$

2) $\frac{\sin 2\alpha - 2\cos \alpha}{\sin \alpha - \sin^2 \alpha} = -2\operatorname{ctg}\alpha;$

3) $\operatorname{tg}\alpha(1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha;$

4) $\frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1;$

5) $\frac{(1 - 2\cos^2 \alpha)(2\sin^2 \alpha - 1)}{4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 2\alpha;$

6) $1 - 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sin \alpha;$

7) $\frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. В числителе используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В знаменателе вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки.
$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\sin\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$
Сократим дробь на общий множитель $(\cos\alpha + \sin\alpha)$:
$\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha}$
Разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha - 1$
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. В числителе применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и вынесем общий множитель. В знаменателе также вынесем общий множитель за скобки.
$\frac{\sin(2\alpha) - 2\cos\alpha}{\sin\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)} = \frac{2\cos\alpha(\sin\alpha - 1)}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)}$
Заметим, что $\sin\alpha - 1 = -(1 - \sin\alpha)$. Подставим это в числитель:
$\frac{-2\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)}$
Сократим дробь на $(1 - \sin\alpha)$:
$\frac{-2\cos\alpha}{\sin\alpha} = -2\text{ctg}\alpha$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть. Заменим $\text{tg}\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и используем формулу для $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.
$\text{tg}\alpha(1 + \cos(2\alpha)) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot (2\cos^2\alpha)$
Сократим на $\cos\alpha$:
$2\sin\alpha\cos\alpha$
Это является формулой синуса двойного угла:
$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем выражение в левой части. Используем формулы понижения степени: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$ и $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$, а также формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
$\frac{1 - \cos(2\alpha) + \sin(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha) + \sin(2\alpha)} \cdot \text{ctg}\alpha = \frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha$
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе дроби:
$\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} \cdot \text{ctg}\alpha$
Сократим дробь на $2$ и $(\sin\alpha + \cos\alpha)$:
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$
Поскольку произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1, получаем:
$\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

5) Преобразуем левую часть. Для выражений в скобках в числителе используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$.
$1 - 2\cos^2\alpha = -(2\cos^2\alpha - 1) = -\cos(2\alpha)$
$2\sin^2\alpha - 1 = -(1 - 2\sin^2\alpha) = -\cos(2\alpha)$
Знаменатель $4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ можно представить как $(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \sin^2(2\alpha)$.
Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$\frac{(-\cos(2\alpha))(-\cos(2\alpha))}{\sin^2(2\alpha)} = \frac{\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)}$
Полученное выражение является квадратом котангенса:
$\left(\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}\right)^2 = \text{ctg}^2(2\alpha)$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

6) Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2x = \cos(2x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.
$1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right)$
Упростим аргумент косинуса:
$\cos\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{2\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$
Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.
Таким образом, левая часть равна $\sin\alpha$, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.

7) Преобразуем левую часть. В числителе используем формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В знаменателе используем формулу $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
$\frac{\sin\alpha + \sin(2\alpha)}{1 + \cos\alpha + \cos(2\alpha)} = \frac{\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1)}$
Упростим знаменатель и вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)}{\cos\alpha + 2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)}{\cos\alpha(1 + 2\cos\alpha)}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 + 2\cos\alpha)$:
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

1058. Доказать тождество

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha(1+\operatorname{ctg}\alpha)} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\operatorname{tg}\alpha)} = \frac{2\sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin2\alpha}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ) до тех пор, пока она не станет равна правой части (ПЧ).

Левая часть тождества:

$$ \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha(1 + \text{ctg}\alpha)} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha(1 + \text{tg}\alpha)} $$

Сначала преобразуем знаменатели дробей, используя определения тангенса и котангенса: $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

Для первой дроби:

$$ \cos\alpha(1 + \text{ctg}\alpha) = \cos\alpha(1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) = \cos\alpha(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}) = \frac{\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha} $$

Для второй дроби:

$$ \sin\alpha(1 + \text{tg}\alpha) = \sin\alpha(1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}) = \sin\alpha(\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}) = \frac{\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos\alpha} $$

Подставим упрощенные знаменатели обратно в выражение:

$$ \frac{\sin^2\alpha}{\frac{\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha}} - \frac{\cos^2\alpha}{\frac{\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos\alpha}} $$

Перевернем дроби в знаменателях:

$$ \frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} - \frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Приведем к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) $:

$$ \frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Разложим числитель как разность квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = \sin^2\alpha $ и $ b = \cos^2\alpha $:

$$ \frac{(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, упростим числитель:

$$ \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Снова применим формулу разности квадратов к числителю:

$$ \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Сократим общий множитель $ (\sin\alpha + \cos\alpha) $ в числителе и знаменателе (это допустимо, так как в области определения исходного выражения $ \sin\alpha + \cos\alpha \neq 0 $):

$$ \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, из которой следует, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2} $:

$$ \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2(\sin\alpha - \cos\alpha)}{\sin(2\alpha)} $$

Для завершения доказательства преобразуем выражение в числителе $ \sin\alpha - \cos\alpha $. Вынесем за скобки $ \sqrt{2} $:

$$ \sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha \right) $$

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, заменим коэффициенты:

$$ \sqrt{2} \left( \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4} \right) $$

По формуле синуса разности $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ получаем:

$$ \sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $$

Подставим это преобразование обратно в наше выражение:

$$ \frac{2 \left( \sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \right)}{\sin(2\alpha)} = \frac{2\sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin(2\alpha)} $$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.