Страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1063. Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус двойного угла:

1) $ \sin^2 15^\circ; $

2) $ \cos^2 \frac{1}{4}; $

3) $ \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right); $

4) $ \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right). $

Для решения данной задачи используются формулы понижения степени, которые являются следствиями формулы косинуса двойного угла ($\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$). Эти формулы позволяют выразить квадрат синуса или косинуса через косинус угла двойной величины:

• Для квадрата синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$
• Для квадрата косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

Применим эти формулы к каждому из заданий.

1) $\sin^2 15^\circ$

Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае угол $\alpha = 15^\circ$. Соответственно, двойной угол $2\alpha = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - \cos(30^\circ)}{2}$

2) $\cos^2 2\frac{1}{4}$

Поскольку знак градуса (°) отсутствует, будем считать, что угол дан в радианах. Представим смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $\frac{9}{4}$.

Используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь угол $\alpha = \frac{9}{4}$ радиан. Тогда двойной угол $2\alpha = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$ радиан.

Подставляем значения в формулу:

$\cos^2 \frac{9}{4} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{9}{4})}{2} = \frac{1 + \cos(\frac{9}{2})}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + \cos(\frac{9}{2})}{2}$

3) $\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2\beta = \frac{1 + \cos(2\beta)}{2}$.

В этом выражении угол $\beta = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Тогда двойной угол $2\beta = 2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$.

Подставляем это выражение в формулу:

$\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha))}{2} = \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{2}$.

Хотя с помощью формул приведения выражение $\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$ можно упростить до $\sin(2\alpha)$, условие задачи требует выразить результат именно через косинус двойного угла.

Ответ: $\frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{2}$

4) $\sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)$

Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2\beta = \frac{1 - \cos(2\beta)}{2}$.

В данном случае угол $\beta = \frac{\pi}{4} + \alpha$. Соответственно, двойной угол $2\beta = 2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\pi}{2} + 2\alpha$.

Подставляем это выражение в формулу:

$\sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} + \alpha))}{2} = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}{2}$.

Как и в предыдущем пункте, выражение $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)$ можно упростить (до $-\sin(2\alpha)$), но мы оставим ответ в требуемом по условию виде.

Ответ: $\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}{2}$

1064. Найти числовое значение выражения:

1) $2\cos^2\frac{2\pi}{8}-1;$

2) $1-2\sin^2\frac{\pi}{12};$

3) $\frac{\sqrt{3}}{2}+2\sin^215^\circ;$

4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cos^215^\circ.$

1) Для нахождения значения выражения $2\cos^2\frac{\pi}{8}-1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$2\cos^2\frac{\pi}{8}-1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{2\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Для нахождения значения выражения $1-2\sin^2\frac{\pi}{12}$ воспользуемся другой формой формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$.

В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$1-2\sin^2\frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{2\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным:

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sin^2{15^\circ}$.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$. Из нее следует, что $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 15^\circ$:

$2\sin^2{15^\circ} = 1 - \cos(2 \cdot 15^\circ) = 1 - \cos(30^\circ)$.

Табличное значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sin^2{15^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \cos(30^\circ)) = \frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

4) Рассмотрим выражение $-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cos^2{15^\circ}$.

Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. Из нее следует, что $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 15^\circ$:

$2\cos^2{15^\circ} = 1 + \cos(2 \cdot 15^\circ) = 1 + \cos(30^\circ)$.

Табличное значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cos^2{15^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \cos(30^\circ)) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

1065. Пусть $\cos \alpha = 0,6$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Вычислить:

1) $\sin \frac{\alpha}{2}$;

2) $\cos \frac{\alpha}{2}$;

3) $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$;

4) $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$.

1) $\sin\frac{\alpha}{2}$
Дано, что $\cos\alpha = 0,6$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Из условия $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ следует, что $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, и все его тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) принимают положительные значения.
Воспользуемся формулой синуса половинного угла: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = 0,6$ в формулу:
$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - 0,6}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2$.
Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin\frac{\alpha}{2}$ должен быть положительным. Извлекаем квадратный корень:
$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{0,2} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

2) $\cos\frac{\alpha}{2}$
Воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = 0,6$ в формулу:
$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + 0,6}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8$.
Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos\frac{\alpha}{2}$ должен быть положительным. Извлекаем квадратный корень:
$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{0,8} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

3) $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно вычислить как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$.
Используем значения, найденные в предыдущих пунктах:
$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) $\text{ctg}\frac{\alpha}{2}$
Котангенс является величиной, обратной тангенсу: $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}}$.
Используем значение тангенса, найденное в пункте 3:
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Ответ: $2$.

1066. Пусть $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Вычислить:

1) $\sin\frac{\alpha}{2}$;

2) $\cos\frac{\alpha}{2}$;

3) $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$;

4) $\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}$.

По условию задачи дано, что $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Сначала найдем значение $\cos\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как угол $\alpha$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, он расположен во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому:

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Разделив двойное неравенство для $\alpha$ на 2, получим:

$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, а значит, его синус, косинус, тангенс и котангенс будут положительны.

1) $\sin \frac{\alpha}{2}$

Воспользуемся формулой синуса половинного угла: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$.

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$.

Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin\frac{\alpha}{2}$ положителен. Поэтому:

$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

2) $\cos \frac{\alpha}{2}$

Воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$.

Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos\frac{\alpha}{2}$ положителен. Поэтому:

$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

3) $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$

Для нахождения тангенса половинного угла можно использовать отношение синуса к косинусу или специальную формулу. Используем отношение:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = 3$.

Другой способ — использование формулы $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{\frac{3}{5}} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: $3$.

4) $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$

Котангенс — это величина, обратная тангенсу: $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}}$.

$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.