Номер 1063, страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1063. Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус двойного угла:

1) $ \sin^2 15^\circ; $

2) $ \cos^2 \frac{1}{4}; $

3) $ \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right); $

4) $ \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right). $

Для решения данной задачи используются формулы понижения степени, которые являются следствиями формулы косинуса двойного угла ($\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$). Эти формулы позволяют выразить квадрат синуса или косинуса через косинус угла двойной величины:

• Для квадрата синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$
• Для квадрата косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

Применим эти формулы к каждому из заданий.

1) $\sin^2 15^\circ$

Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае угол $\alpha = 15^\circ$. Соответственно, двойной угол $2\alpha = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - \cos(30^\circ)}{2}$

2) $\cos^2 2\frac{1}{4}$

Поскольку знак градуса (°) отсутствует, будем считать, что угол дан в радианах. Представим смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $\frac{9}{4}$.

Используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь угол $\alpha = \frac{9}{4}$ радиан. Тогда двойной угол $2\alpha = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$ радиан.

Подставляем значения в формулу:

$\cos^2 \frac{9}{4} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{9}{4})}{2} = \frac{1 + \cos(\frac{9}{2})}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + \cos(\frac{9}{2})}{2}$

3) $\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2\beta = \frac{1 + \cos(2\beta)}{2}$.

В этом выражении угол $\beta = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Тогда двойной угол $2\beta = 2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$.

Подставляем это выражение в формулу:

$\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha))}{2} = \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{2}$.

Хотя с помощью формул приведения выражение $\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$ можно упростить до $\sin(2\alpha)$, условие задачи требует выразить результат именно через косинус двойного угла.

Ответ: $\frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{2}$

4) $\sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)$

Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2\beta = \frac{1 - \cos(2\beta)}{2}$.

В данном случае угол $\beta = \frac{\pi}{4} + \alpha$. Соответственно, двойной угол $2\beta = 2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\pi}{2} + 2\alpha$.

Подставляем это выражение в формулу:

$\sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} + \alpha))}{2} = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}{2}$.

Как и в предыдущем пункте, выражение $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)$ можно упростить (до $-\sin(2\alpha)$), но мы оставим ответ в требуемом по условию виде.

Ответ: $\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}{2}$