Номер 1060, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1060. Упростить выражение:

1) $ \frac{1 + \sin2\alpha}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

2) $ \frac{(\cos0.75\beta - \sin0.75\beta)^2}{1 - \sin1.5\beta} $

1)

Рассмотрим выражение $ \frac{1 + \sin(2\alpha)}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $.

Для упрощения числителя воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Преобразуем числитель, заменяя 1 и $ \sin(2\alpha) $ соответствующими выражениями:

$ 1 + \sin(2\alpha) = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $:

$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в исходную дробь:

$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $.

При условии, что знаменатель не равен нулю (то есть $ \sin\alpha + \cos\alpha \neq 0 $), дробь можно сократить. В результате получаем:

$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} = 1 $.

Ответ: 1

2)

Рассмотрим выражение $ \frac{(\cos(0,75\beta) - \sin(0,75\beta))^2}{1 - \sin(1,5\beta)} $.

Сначала преобразуем числитель, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ (\cos(0,75\beta) - \sin(0,75\beta))^2 = \cos^2(0,75\beta) - 2\cos(0,75\beta)\sin(0,75\beta) + \sin^2(0,75\beta) $.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \cos^2x + \sin^2x = 1 $, где $ x = 0,75\beta $:

$ (\cos^2(0,75\beta) + \sin^2(0,75\beta)) - 2\sin(0,75\beta)\cos(0,75\beta) = 1 - 2\sin(0,75\beta)\cos(0,75\beta) $.

Далее воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $. В нашем случае $ x = 0,75\beta $, тогда $ 2x = 2 \cdot 0,75\beta = 1,5\beta $.

Таким образом, числитель принимает вид:

$ 1 - \sin(1,5\beta) $.

Подставим преобразованный числитель в исходное выражение:

$ \frac{1 - \sin(1,5\beta)}{1 - \sin(1,5\beta)} $.

При условии, что знаменатель не равен нулю (то есть $ 1 - \sin(1,5\beta) \neq 0 $), дробь можно сократить. В результате получаем:

$ \frac{1 - \sin(1,5\beta)}{1 - \sin(1,5\beta)} = 1 $.

Ответ: 1