Номер 1064, страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1064. Найти числовое значение выражения:

1) $2\cos^2\frac{2\pi}{8}-1;$

2) $1-2\sin^2\frac{\pi}{12};$

3) $\frac{\sqrt{3}}{2}+2\sin^215^\circ;$

4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cos^215^\circ.$

1) Для нахождения значения выражения $2\cos^2\frac{\pi}{8}-1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$2\cos^2\frac{\pi}{8}-1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{2\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Для нахождения значения выражения $1-2\sin^2\frac{\pi}{12}$ воспользуемся другой формой формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$.

В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$1-2\sin^2\frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{2\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным:

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sin^2{15^\circ}$.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$. Из нее следует, что $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 15^\circ$:

$2\sin^2{15^\circ} = 1 - \cos(2 \cdot 15^\circ) = 1 - \cos(30^\circ)$.

Табличное значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sin^2{15^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \cos(30^\circ)) = \frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

4) Рассмотрим выражение $-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cos^2{15^\circ}$.

Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. Из нее следует, что $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 15^\circ$:

$2\cos^2{15^\circ} = 1 + \cos(2 \cdot 15^\circ) = 1 + \cos(30^\circ)$.

Табличное значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cos^2{15^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \cos(30^\circ)) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

Ответ: $1$.