Номер 1065, страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1065. Пусть $\cos \alpha = 0,6$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Вычислить:

1) $\sin \frac{\alpha}{2}$;

2) $\cos \frac{\alpha}{2}$;

3) $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$;

4) $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$.

1) $\sin\frac{\alpha}{2}$
Дано, что $\cos\alpha = 0,6$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Из условия $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ следует, что $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, и все его тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) принимают положительные значения.
Воспользуемся формулой синуса половинного угла: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = 0,6$ в формулу:
$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - 0,6}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2$.
Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin\frac{\alpha}{2}$ должен быть положительным. Извлекаем квадратный корень:
$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{0,2} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

2) $\cos\frac{\alpha}{2}$
Воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = 0,6$ в формулу:
$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + 0,6}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8$.
Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos\frac{\alpha}{2}$ должен быть положительным. Извлекаем квадратный корень:
$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{0,8} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

3) $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно вычислить как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$.
Используем значения, найденные в предыдущих пунктах:
$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) $\text{ctg}\frac{\alpha}{2}$
Котангенс является величиной, обратной тангенсу: $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}}$.
Используем значение тангенса, найденное в пункте 3:
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Ответ: $2$.