Номер 1059, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1059. Решить уравнение:

1) $\sin 2x - 2\cos x = 0;$

2) $\cos 2x + \sin^2 x = 1;$

3) $4\cos x = \sin 2x;$

4) $\sin^2 x = -\cos 2x;$

5) $\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0;$

6) $\cos^2 \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2}.$

1) Решим уравнение $sin2x - 2cosx = 0$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$:
$2sinx cosx - 2cosx = 0$
Вынесем общий множитель $2cosx$ за скобки:
$2cosx(sinx - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $cosx = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $sinx - 1 = 0$, то есть $sinx = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия решений является подмножеством первой (при четных $k$, т.е. $k=2n$). Таким образом, общим решением является первая серия.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $cos2x + sin^2x = 1$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$:
$(cos^2x - sin^2x) + sin^2x = 1$
$cos^2x = 1$
Отсюда $cosx = 1$ или $cosx = -1$.
Эти две серии решений можно объединить в одну:
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $4cosx = sin2x$.
Применим формулу синуса двойного угла $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$:
$4cosx = 2sinx cosx$
Перенесем все члены в одну сторону:
$4cosx - 2sinx cosx = 0$
Вынесем общий множитель $2cosx$ за скобки:
$2cosx(2 - sinx) = 0$
Получаем два случая:
1. $cosx = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $2 - sinx = 0$, то есть $sinx = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.
Следовательно, решением является только первая серия.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $sin^2x = -cos2x$.
Применим формулу косинуса двойного угла $cos2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$:
$sin^2x = -(1 - 2sin^2x)$
$sin^2x = -1 + 2sin^2x$
$1 = 2sin^2x - sin^2x$
$sin^2x = 1$
Отсюда $sinx = 1$ или $sinx = -1$.
Эти случаи соответствуют точкам на единичной окружности, где косинус равен нулю. Таким образом, $cosx = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
Из формулы синуса двойного угла $sin\alpha = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}$ следует, что $sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}sin\alpha$.
Применим это к уравнению:
$\frac{1}{2}sinx + \frac{1}{2} = 0$
Умножим обе части на 2:
$sinx + 1 = 0$
$sinx = -1$
Решением этого уравнения является:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $cos^2\frac{x}{2} = sin^2\frac{x}{2}$.
Перенесем все в левую часть:
$cos^2\frac{x}{2} - sin^2\frac{x}{2} = 0$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos\alpha = cos^2\frac{\alpha}{2} - sin^2\frac{\alpha}{2}$:
$cosx = 0$
Решением этого уравнения является:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.