Страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1059. Решить уравнение:

1) $\sin 2x - 2\cos x = 0;$

2) $\cos 2x + \sin^2 x = 1;$

3) $4\cos x = \sin 2x;$

4) $\sin^2 x = -\cos 2x;$

5) $\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0;$

6) $\cos^2 \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2}.$

1) Решим уравнение $sin2x - 2cosx = 0$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$:
$2sinx cosx - 2cosx = 0$
Вынесем общий множитель $2cosx$ за скобки:
$2cosx(sinx - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $cosx = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $sinx - 1 = 0$, то есть $sinx = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия решений является подмножеством первой (при четных $k$, т.е. $k=2n$). Таким образом, общим решением является первая серия.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $cos2x + sin^2x = 1$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$:
$(cos^2x - sin^2x) + sin^2x = 1$
$cos^2x = 1$
Отсюда $cosx = 1$ или $cosx = -1$.
Эти две серии решений можно объединить в одну:
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $4cosx = sin2x$.
Применим формулу синуса двойного угла $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$:
$4cosx = 2sinx cosx$
Перенесем все члены в одну сторону:
$4cosx - 2sinx cosx = 0$
Вынесем общий множитель $2cosx$ за скобки:
$2cosx(2 - sinx) = 0$
Получаем два случая:
1. $cosx = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $2 - sinx = 0$, то есть $sinx = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.
Следовательно, решением является только первая серия.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $sin^2x = -cos2x$.
Применим формулу косинуса двойного угла $cos2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$:
$sin^2x = -(1 - 2sin^2x)$
$sin^2x = -1 + 2sin^2x$
$1 = 2sin^2x - sin^2x$
$sin^2x = 1$
Отсюда $sinx = 1$ или $sinx = -1$.
Эти случаи соответствуют точкам на единичной окружности, где косинус равен нулю. Таким образом, $cosx = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
Из формулы синуса двойного угла $sin\alpha = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}$ следует, что $sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}sin\alpha$.
Применим это к уравнению:
$\frac{1}{2}sinx + \frac{1}{2} = 0$
Умножим обе части на 2:
$sinx + 1 = 0$
$sinx = -1$
Решением этого уравнения является:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $cos^2\frac{x}{2} = sin^2\frac{x}{2}$.
Перенесем все в левую часть:
$cos^2\frac{x}{2} - sin^2\frac{x}{2} = 0$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos\alpha = cos^2\frac{\alpha}{2} - sin^2\frac{\alpha}{2}$:
$cosx = 0$
Решением этого уравнения является:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1060. Упростить выражение:

1) $ \frac{1 + \sin2\alpha}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

2) $ \frac{(\cos0.75\beta - \sin0.75\beta)^2}{1 - \sin1.5\beta} $

1)

Рассмотрим выражение $ \frac{1 + \sin(2\alpha)}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $.

Для упрощения числителя воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Преобразуем числитель, заменяя 1 и $ \sin(2\alpha) $ соответствующими выражениями:

$ 1 + \sin(2\alpha) = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $:

$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в исходную дробь:

$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $.

При условии, что знаменатель не равен нулю (то есть $ \sin\alpha + \cos\alpha \neq 0 $), дробь можно сократить. В результате получаем:

$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} = 1 $.

Ответ: 1

2)

Рассмотрим выражение $ \frac{(\cos(0,75\beta) - \sin(0,75\beta))^2}{1 - \sin(1,5\beta)} $.

Сначала преобразуем числитель, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ (\cos(0,75\beta) - \sin(0,75\beta))^2 = \cos^2(0,75\beta) - 2\cos(0,75\beta)\sin(0,75\beta) + \sin^2(0,75\beta) $.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \cos^2x + \sin^2x = 1 $, где $ x = 0,75\beta $:

$ (\cos^2(0,75\beta) + \sin^2(0,75\beta)) - 2\sin(0,75\beta)\cos(0,75\beta) = 1 - 2\sin(0,75\beta)\cos(0,75\beta) $.

Далее воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $. В нашем случае $ x = 0,75\beta $, тогда $ 2x = 2 \cdot 0,75\beta = 1,5\beta $.

Таким образом, числитель принимает вид:

$ 1 - \sin(1,5\beta) $.

Подставим преобразованный числитель в исходное выражение:

$ \frac{1 - \sin(1,5\beta)}{1 - \sin(1,5\beta)} $.

При условии, что знаменатель не равен нулю (то есть $ 1 - \sin(1,5\beta) \neq 0 $), дробь можно сократить. В результате получаем:

$ \frac{1 - \sin(1,5\beta)}{1 - \sin(1,5\beta)} = 1 $.

Ответ: 1

1061. Доказать тождество:

1) $\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{2\pi}{5} = 0,25$;

2) $8\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$;

3) $16 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = 1$;

4) $\operatorname{tg}\alpha + 2\operatorname{tg}2\alpha + 4\operatorname{tg}4\alpha + 8\operatorname{tg}8\alpha + 16\operatorname{tg}16\alpha + 32\operatorname{ctg}32\alpha = \operatorname{ctg}\alpha$;

5) $\frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$;

6) $\sin3\alpha \sin^3\alpha + \cos3\alpha \cdot \cos^3\alpha = \cos^3 2\alpha.$

1)

Докажем тождество: $ \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} = 0,25 $.

Преобразуем левую часть (Л.Ч.) равенства. Умножим и разделим выражение на $ 2\sin\frac{\pi}{5} $ (это возможно, так как $ \sin\frac{\pi}{5} \neq 0 $):

$ \text{Л.Ч.} = \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} $

Применим ту же формулу еще раз, умножив числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} $

Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin\frac{4\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = \sin\frac{\pi}{5} $

Подставляем это обратно в выражение:

$ \frac{\sin\frac{\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{1}{4} = 0,25 $

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} = 0,25 $, что и требовалось доказать.

2)

Докажем тождество: $ 8\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ $.

Преобразуем левую часть (Л.Ч.). Умножим и разделим ее на $ \sin 10^\circ $ (где $ \sin 10^\circ \neq 0 $):

$ \text{Л.Ч.} = \frac{8\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha) $:

$ \frac{4 \cdot (2\sin 10^\circ \cos 10^\circ) \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $

$ = \frac{2 \cdot (2\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $

$ = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} $

Используем формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $:

$ \sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ $

Подставляем и получаем:

$ \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ 8\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ $, что и требовалось доказать.

3)

Докажем тождество: $ 16 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = 1 $.

Преобразуем левую часть (Л.Ч.). Мы знаем, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $. Подставим это значение:

$ \text{Л.Ч.} = 16 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 80^\circ = 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ $

Умножим и разделим выражение на $ \sin 20^\circ $:

$ \frac{8\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} $

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha) $:

$ = \frac{4 \cdot (2\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} $

$ = \frac{2 \cdot (2\sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} $

$ = \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} $

Используем формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $

Подставляем обратно:

$ \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 1 $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ 16 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = 1 $, что и требовалось доказать.

4)

Докажем тождество: $ \operatorname{tg} \alpha + 2\operatorname{tg} 2\alpha + 4\operatorname{tg} 4\alpha + 8\operatorname{tg} 8\alpha + 16\operatorname{tg} 16\alpha + 32\operatorname{ctg} 32\alpha = \operatorname{ctg} \alpha $.

Для доказательства воспользуемся вспомогательной формулой, связывающей тангенс и котангенс: $ \operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\operatorname{ctg}(2x) $.

Отсюда следует, что $ \operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} x - 2\operatorname{ctg}(2x) $, или $ 2\operatorname{ctg}(2x) = \operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x $.

Начнем преобразование левой части (Л.Ч.) с последних двух слагаемых, используя выведенную формулу для $ x=16\alpha $:

$ 16\operatorname{tg} 16\alpha + 32\operatorname{ctg} 32\alpha = 16\operatorname{tg} 16\alpha + 16(2\operatorname{ctg}(2 \cdot 16\alpha)) = 16\operatorname{tg} 16\alpha + 16(\operatorname{ctg} 16\alpha - \operatorname{tg} 16\alpha) = 16\operatorname{ctg} 16\alpha $.

Теперь выражение для Л.Ч. выглядит так: $ \operatorname{tg} \alpha + ... + 8\operatorname{tg} 8\alpha + 16\operatorname{ctg} 16\alpha $. Сгруппируем следующие два слагаемых, для $ x=8\alpha $:

$ 8\operatorname{tg} 8\alpha + 16\operatorname{ctg} 16\alpha = 8\operatorname{tg} 8\alpha + 8(2\operatorname{ctg}(2 \cdot 8\alpha)) = 8\operatorname{tg} 8\alpha + 8(\operatorname{ctg} 8\alpha - \operatorname{tg} 8\alpha) = 8\operatorname{ctg} 8\alpha $.

Продолжая этот процесс (сворачивая сумму справа налево), мы последовательно получим:

$ 4\operatorname{tg} 4\alpha + 8\operatorname{ctg} 8\alpha = 4\operatorname{ctg} 4\alpha $

$ 2\operatorname{tg} 2\alpha + 4\operatorname{ctg} 4\alpha = 2\operatorname{ctg} 2\alpha $

В итоге левая часть сводится к:

$ \operatorname{tg} \alpha + 2\operatorname{ctg} 2\alpha = \operatorname{tg} \alpha + (\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha) = \operatorname{ctg} \alpha $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha + 2\operatorname{tg} 2\alpha + 4\operatorname{tg} 4\alpha + 8\operatorname{tg} 8\alpha + 16\operatorname{tg} 16\alpha + 32\operatorname{ctg} 32\alpha = \operatorname{ctg} \alpha $, что и требовалось доказать.

5)

Докажем тождество: $ \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Преобразуем правую часть (П.Ч.) тождества. Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:

$ \text{П.Ч.} = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sin\alpha \cos(\alpha/2) - \cos\alpha \sin(\alpha/2)}{\cos\alpha \cos(\alpha/2)} $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $:

$ \frac{\sin(\alpha - \alpha/2)}{\cos\alpha \cos(\alpha/2)} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos\alpha \cos(\alpha/2)} $

Перегруппируем множители:

$ \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}(\alpha/2)}{\cos\alpha} $

Правая часть равна левой. Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} $, что и требовалось доказать.

6)

Докажем тождество: $ \sin 3\alpha \sin^3 \alpha + \cos 3\alpha \cos^3 \alpha = \cos^3 2\alpha $.

Преобразуем левую часть (Л.Ч.). Используем формулы тройного угла:

$ \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $

$ \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha $

Подставим эти выражения в левую часть:

$ \text{Л.Ч.} = (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)\sin^3\alpha + (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha)\cos^3\alpha $

Раскроем скобки:

$ = 3\sin^4\alpha - 4\sin^6\alpha + 4\cos^6\alpha - 3\cos^4\alpha $

Сгруппируем слагаемые:

$ = 4(\cos^6\alpha - \sin^6\alpha) - 3(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha) $

Разложим на множители выражения в скобках. Для первого используем разность квадратов:

$ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha $

Для второго используем разность кубов $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ \cos^6\alpha - \sin^6\alpha = (\cos^2\alpha)^3 - (\sin^2\alpha)^3 = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^4\alpha + \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) $

$ = \cos 2\alpha \cdot ((\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\sin^2\alpha) $

$ = \cos 2\alpha \cdot (1 - \cos^2\alpha\sin^2\alpha) = \cos 2\alpha \cdot (1 - \frac{1}{4}(2\sin\alpha\cos\alpha)^2) = \cos 2\alpha \cdot (1 - \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha) $

Подставим полученные выражения обратно в левую часть:

$ \text{Л.Ч.} = 4\cos 2\alpha (1 - \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha) - 3\cos 2\alpha $

Вынесем $ \cos 2\alpha $ за скобки:

$ = \cos 2\alpha \cdot [4(1 - \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha) - 3] = \cos 2\alpha \cdot (4 - \sin^2 2\alpha - 3) $

$ = \cos 2\alpha \cdot (1 - \sin^2 2\alpha) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $:

$ = \cos 2\alpha \cdot \cos^2 2\alpha = \cos^3 2\alpha $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \sin 3\alpha \sin^3 \alpha + \cos 3\alpha \cos^3 \alpha = \cos^3 2\alpha $, что и требовалось доказать.

1062. Доказать:

1) $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $;

2) $ \tan^2 36^\circ \cdot \tan^2 72^\circ = 5 $.

1)

Чтобы доказать, что $sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$, рассмотрим угол $\alpha = 18^\circ$.

Умножим этот угол на 5: $5\alpha = 5 \cdot 18^\circ = 90^\circ$.

Представим $5\alpha$ в виде суммы $2\alpha + 3\alpha$. Тогда $2\alpha + 3\alpha = 90^\circ$, откуда следует, что $2\alpha = 90^\circ - 3\alpha$.

Возьмем синус от обеих частей равенства:

$sin(2\alpha) = sin(90^\circ - 3\alpha)$

Используя формулу приведения $sin(90^\circ - x) = cos(x)$, получаем:

$sin(2\alpha) = cos(3\alpha)$

Теперь применим формулы синуса двойного угла и косинуса тройного угла:

$sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$

$cos(3\alpha) = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$

Подставим эти выражения в наше равенство:

$2sin\alpha cos\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$

Поскольку $\alpha = 18^\circ$, $cos\alpha = cos18^\circ \ne 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $cos\alpha$:

$2sin\alpha = 4cos^2\alpha - 3$

Используя основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$, заменим $cos^2\alpha$:

$2sin\alpha = 4(1 - sin^2\alpha) - 3$

$2sin\alpha = 4 - 4sin^2\alpha - 3$

$2sin\alpha = 1 - 4sin^2\alpha$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $sin\alpha$:

$4sin^2\alpha + 2sin\alpha - 1 = 0$

Сделаем замену $x = sin\alpha$:

$4x^2 + 2x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Мы получили два возможных значения для $x = sin18^\circ$:

$x_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ и $x_2 = \frac{-\sqrt{5} - 1}{4}$

Угол $18^\circ$ находится в первой четверти, поэтому его синус должен быть положительным. Значение $x_2$ отрицательно, поэтому оно не является решением. Единственное подходящее решение — это $x_1$.

Таким образом, $sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство завершено.

2)

Чтобы доказать тождество $tg^2{36^\circ} \cdot tg^2{72^\circ} = 5$, мы воспользуемся результатом, полученным в пункте 1, а также другими тригонометрическими формулами.

Сначала найдем выражения для $tg^2{36^\circ}$ и $tg^2{72^\circ}$.

Вычислим $cos(36^\circ)$ через $sin(18^\circ)$ по формуле косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2\alpha$:

$cos(36^\circ) = 1 - 2sin^2(18^\circ)$

Из пункта 1 мы знаем, что $sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$. Возведем это значение в квадрат:

$sin^2(18^\circ) = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$

Теперь подставим это в формулу для $cos(36^\circ)$:

$cos(36^\circ) = 1 - 2\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{8}\right) = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{4} = \frac{4 - 3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Для нахождения $tg^2{36^\circ}$ нам понадобятся $sin^2{36^\circ}$ и $cos^2{36^\circ}$:

$cos^2(36^\circ) = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 + \sqrt{5}}{8}$

$sin^2(36^\circ) = 1 - cos^2(36^\circ) = 1 - \frac{3 + \sqrt{5}}{8} = \frac{8 - 3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{5 - \sqrt{5}}{8}$

Теперь мы можем найти $tg^2{36^\circ}$:

$tg^2(36^\circ) = \frac{sin^2(36^\circ)}{cos^2(36^\circ)} = \frac{(5 - \sqrt{5})/8}{(3 + \sqrt{5})/8} = \frac{5 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{5})$:

$tg^2(36^\circ) = \frac{(5 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{15 - 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 5}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{20 - 8\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{20 - 8\sqrt{5}}{4} = 5 - 2\sqrt{5}$

Далее найдем $tg^2{72^\circ}$. Используем формулу приведения: $tg(72^\circ) = tg(90^\circ - 18^\circ) = ctg(18^\circ)$.

Следовательно, $tg^2(72^\circ) = ctg^2(18^\circ) = \frac{cos^2(18^\circ)}{sin^2(18^\circ)}$.

Мы уже знаем $sin^2(18^\circ) = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$. Найдем $cos^2(18^\circ)$:

$cos^2(18^\circ) = 1 - sin^2(18^\circ) = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{8 - 3 + \sqrt{5}}{8} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}$

Теперь вычислим $tg^2(72^\circ)$:

$tg^2(72^\circ) = \frac{(5 + \sqrt{5})/8}{(3 - \sqrt{5})/8} = \frac{5 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $(3 + \sqrt{5})$:

$tg^2(72^\circ) = \frac{(5 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{15 + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{20 + 8\sqrt{5}}{4} = 5 + 2\sqrt{5}$

Наконец, перемножим полученные выражения для $tg^2{36^\circ}$ и $tg^2{72^\circ}$:

$tg^2{36^\circ} \cdot tg^2{72^\circ} = (5 - 2\sqrt{5})(5 + 2\sqrt{5})$

Это произведение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(5 - 2\sqrt{5})(5 + 2\sqrt{5}) = 5^2 - (2\sqrt{5})^2 = 25 - (4 \cdot 5) = 25 - 20 = 5$

Мы получили 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство завершено.