Страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1067. Вычислить:

1) $ \sin 15^{\circ} $;

2) $ \cos 15^{\circ} $;

3) $ \text{tg } 22^{\circ}30^{\prime} $;

4) $ \text{ctg } 22^{\circ}30^{\prime} $.

1) sin 15°

Для вычисления значения $\sin 15^\circ$ представим угол $15^\circ$ в виде разности двух стандартных углов, значения синусов и косинусов которых известны, например, $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Подставим в формулу $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:

$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

Известны значения тригонометрических функций для этих углов:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в выражение:

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

2) cos 15°

Аналогично предыдущему пункту, используем представление $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ и формулу косинуса разности двух углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

Используя те же значения, что и в первом пункте, получаем:

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3) tg 22°30'

Сначала преобразуем угол: $30'$ (минут) это $0.5^\circ$ (градуса). Таким образом, $22^\circ30' = 22.5^\circ$.

Этот угол является половиной от $45^\circ$, то есть $22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$.

Воспользуемся формулой тангенса половинного угла:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$

В нашем случае $\alpha = 45^\circ$.

$\text{tg} 22.5^\circ = \frac{1 - \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ}$

Мы знаем, что $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения:

$\text{tg} 22.5^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\text{tg} 22.5^\circ = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$

Ответ: $\sqrt{2} - 1$

4) ctg 22°30'

Котангенс является обратной функцией к тангенсу: $\text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x}$.

Из предыдущего пункта известно, что $\text{tg} 22^\circ30' = \sqrt{2} - 1$.

Следовательно:

$\text{ctg} 22^\circ30' = \frac{1}{\text{tg} 22^\circ30'} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{2} + 1$:

$\text{ctg} 22^\circ30' = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$

Ответ: $\sqrt{2} + 1$

1068. Упростить выражение:

1) $\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$;

2) $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$;

3) $\frac{1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha}{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}$;

4) $\frac{1 + \cos4\alpha}{\sin4\alpha}$;

5) $\frac{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$;

6) $(1 - \cos2\alpha)\text{ctg}\alpha$.

1) Для упрощения выражения $\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ воспользуемся формулами половинного угла:

$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$

Сократим общие множители $2\sin\frac{\alpha}{2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}$

Ответ: $\tan\frac{\alpha}{2}$.

2) Для упрощения выражения $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$ воспользуемся формулами половинного угла:

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

$1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}$

Сократим общие множители $2\cos\frac{\alpha}{2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}$

Ответ: $\tan\frac{\alpha}{2}$.

3) Для упрощения выражения $\frac{1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha}{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}$ воспользуемся формулами двойного угла:

$1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$

$1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель:

$\frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$

Сократим общие множители $2(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$.

4) Для упрощения выражения $\frac{1 + \cos4\alpha}{\sin4\alpha}$ воспользуемся формулами двойного угла для аргумента $2\alpha$:

$1 + \cos4\alpha = 1 + \cos(2 \cdot 2\alpha) = 2\cos^2(2\alpha)$

$\sin4\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{1 + \cos4\alpha}{\sin4\alpha} = \frac{2\cos^2(2\alpha)}{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$

Сократим общие множители $2\cos(2\alpha)$:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \cot(2\alpha)$

Ответ: $\cot(2\alpha)$.

5) Для упрощения выражения $\frac{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$ преобразуем числитель с помощью формул двойного угла:

$1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Числитель примет вид:

$1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha = 2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$

Подставим преобразованный числитель в исходное выражение:

$\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Сократим общий множитель $(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$2\cos\alpha$

Ответ: $2\cos\alpha$.

6) Для упрощения выражения $(1 - \cos2\alpha)\ctg\alpha$ воспользуемся формулой двойного угла и определением котангенса:

$1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$

$\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$(2\sin^2\alpha) \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Сократим на $\sin\alpha$:

$2\sin\alpha\cos\alpha$

Полученное выражение является формулой синуса двойного угла:

$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$

Ответ: $\sin2\alpha$.

Доказать тождество (1069—1070).

1069. 1) $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) = 1 + \sin\alpha;$

2) $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \sin\alpha;$

3) $\frac{3 - 4\cos2\alpha + \cos4\alpha}{3 + 4\cos2\alpha + \cos4\alpha} = \text{tg}4\alpha;$

4) $\frac{1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha}{1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha} = \text{ctg}\alpha.$

1) Для доказательства тождества $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \sin\alpha$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$, тогда $2x = 2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
Подставим это в левую часть равенства:
$2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.
Получаем: $1 + \sin\alpha$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $1 + \sin\alpha = 1 + \sin\alpha$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin\alpha$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$, тогда $2x = 2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
Подставим это в левую часть равенства:
$2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.
Получаем: $1 - \sin\alpha$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $1 - \sin\alpha = 1 - \sin\alpha$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $\frac{3 - 4\cos2\alpha + \cos4\alpha}{3 + 4\cos2\alpha + \cos4\alpha} = \text{tg}^4\alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos4\alpha = 2\cos^2(2\alpha) - 1$.
Преобразуем числитель дроби:
$3 - 4\cos2\alpha + \cos4\alpha = 3 - 4\cos2\alpha + (2\cos^2(2\alpha) - 1) = 2 - 4\cos2\alpha + 2\cos^2(2\alpha) = 2(1 - 2\cos2\alpha + \cos^2(2\alpha)) = 2(1 - \cos2\alpha)^2$.
Преобразуем знаменатель дроби:
$3 + 4\cos2\alpha + \cos4\alpha = 3 + 4\cos2\alpha + (2\cos^2(2\alpha) - 1) = 2 + 4\cos2\alpha + 2\cos^2(2\alpha) = 2(1 + 2\cos2\alpha + \cos^2(2\alpha)) = 2(1 + \cos2\alpha)^2$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:
$\frac{2(1 - \cos2\alpha)^2}{2(1 + \cos2\alpha)^2} = \left(\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}\right)^2$.
Воспользуемся формулами половинного угла: $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$ и $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$.
$\left(\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha}\right)^2 = \left(\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right)^2 = (\text{tg}^2\alpha)^2 = \text{tg}^4\alpha$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\frac{1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha}{1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha} = \text{ctg}\alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем формулы двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, а также формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла, или более простые тождества: $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$ и $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$.
Преобразуем числитель:
$1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha = (1 + \cos2\alpha) + \sin2\alpha = 2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Преобразуем знаменатель:
$1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha = (1 - \cos2\alpha) + \sin2\alpha = 2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}$.
Сократим общий множитель $2(\cos\alpha + \sin\alpha)$ (при условии, что он не равен нулю):
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$.
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

1070. 1) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1;$

2) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

3) $\frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha};$

4) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right).$

1) Требуется доказать тождество: $\frac{1 - \cos{2\alpha}}{\sin{2\alpha}} \cdot \ctg{\alpha} = 1$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла и определение котангенса.

Применим формулы синуса и косинуса двойного угла:

$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

$1 - \cos{2\alpha} = 1 - (1 - 2\sin^2{\alpha}) = 2\sin^2{\alpha}$

А также определение котангенса:

$\ctg{\alpha} = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Подставим эти выражения в левую часть исходного тождества:

$\frac{2\sin^2{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} \cdot \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Сократим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\sin^2{\alpha} \cdot \cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \cdot \sin{\alpha}} = \frac{2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}} = 1$

Левая часть равна правой, тождество доказано. Тождество справедливо при условии, что знаменатели не равны нулю, т.е. $\sin{2\alpha} \neq 0$ и $\sin{\alpha} \neq 0$, что эквивалентно $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Требуется доказать тождество: $\frac{\sin{2\alpha}}{1 + \cos{2\alpha}} = \tg{\alpha}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла.

Применим формулы синуса и косинуса двойного угла:

$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

$1 + \cos{2\alpha} = 1 + (2\cos^2{\alpha} - 1) = 2\cos^2{\alpha}$

Подставим эти выражения в левую часть:

$\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}}$

Сократим дробь на $2\cos{\alpha}$ (при условии $\cos{\alpha} \neq 0$):

$\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \tg{\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано. Тождество справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю: $1 + \cos{2\alpha} \neq 0$, что эквивалентно $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Требуется доказать тождество: $\frac{1 - 2\sin^2{\alpha}}{1 + \sin{2\alpha}} = \frac{1 - \tg{\alpha}}{1 + \tg{\alpha}}$.

Преобразуем левую часть равенства.

Числитель $1 - 2\sin^2{\alpha}$ по формуле косинуса двойного угла равен $\cos{2\alpha}$.

Знаменатель $1 + \sin{2\alpha}$ преобразуем, используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}$ и формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$:

$1 + \sin{2\alpha} = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} + 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = (\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в левую часть:

$\frac{\cos{2\alpha}}{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}$

Применим для числителя еще одну формулу косинуса двойного угла: $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = (\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})$.

$\frac{(\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})}{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2} = \frac{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}{\cos{\alpha} + \sin{\alpha}}$

Чтобы получить тангенсы, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos{\alpha}$ (при условии $\cos{\alpha} \neq 0$):

$\frac{\frac{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}}{\frac{\cos{\alpha} + \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}} = \frac{\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}} - \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}}{\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}} + \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}} = \frac{1 - \tg{\alpha}}{1 + \tg{\alpha}}$

Левая часть равна правой, тождество доказано. Тождество справедливо при $\cos{\alpha} \neq 0$ и $1+\sin{2\alpha} \neq 0$.

Ответ: Тождество доказано.

4) Требуется доказать тождество: $\frac{1 + \sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} = \tg(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Преобразуем обе части равенства.

Начнем с правой части, используя формулу тангенса суммы: $\tg(A+B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B}$.

$\tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\alpha}{1 - \tg\frac{\pi}{4}\tg\alpha}$

Так как $\tg\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$\frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$

Теперь преобразуем левую часть. Как и в предыдущем задании, используем преобразования:

$1 + \sin{2\alpha} = (\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2$

$\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = (\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})$

Подставим в левую часть:

$\frac{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}{(\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})} = \frac{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}$

Разделим числитель и знаменатель на $\cos{\alpha}$ (при условии $\cos{\alpha} \neq 0$):

$\frac{\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} + \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}}}{\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}} - \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}} = \frac{\tg{\alpha} + 1}{1 - \tg{\alpha}}$

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению. Следовательно, тождество доказано. Тождество справедливо при $\cos{2\alpha} \neq 0$ и $\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha) \neq 0$.

Ответ: Тождество доказано.

1071. Упростить выражение:

1) $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\sin2\alpha$

2) $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\sin2\alpha$

1) Упростим выражение $2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin(2\alpha)$.

Для этого воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.

В нашем случае аргумент $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Применим формулу к первому слагаемому:

$2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha))$

Упростим аргумент косинуса:

$2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{2\pi}{4} - 2\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$

Таким образом, выражение принимает вид:

$1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$

Теперь используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin(\beta)$. В нашем случае $\beta = 2\alpha$, поэтому:

$\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$

Подставим это обратно в наше преобразованное первое слагаемое:

$1 - \sin(2\alpha)$

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(1 - \sin(2\alpha)) + \sin(2\alpha) = 1 - \sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) = 1$

Ответ: $1$

2) Упростим выражение $2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) - \sin(2\alpha)$.

Для этого воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $2\cos^2(x) = 1 + \cos(2x)$.

В нашем случае аргумент $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Применим формулу к первому слагаемому:

$2\cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha))$

Упростим аргумент косинуса, как и в предыдущем пункте:

$2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$

Выражение принимает вид:

$1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$

Используем ту же формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin(\beta)$, где $\beta = 2\alpha$:

$\cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$

Подставим это обратно:

$1 + \sin(2\alpha)$

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(1 + \sin(2\alpha)) - \sin(2\alpha) = 1 + \sin(2\alpha) - \sin(2\alpha) = 1$

Ответ: $1$

1072. Доказать, что если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то

$\sqrt{1 + \sin\alpha} - \sqrt{1 - \sin\alpha} = 2\sin\frac{\alpha}{2}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $\sqrt{1 + \sin\alpha} - \sqrt{1 - \sin\alpha}$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2x + \cos^2x$ и формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Применив эти формулы для аргумента $\frac{\alpha}{2}$, получим: $1 = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}$ и $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.

Подставим эти выражения в подкоренные выражения в левой части доказываемого равенства. Для первого слагаемого:

$1 + \sin\alpha = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = (\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2$.

Для второго слагаемого:

$1 - \sin\alpha = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = (\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$\sqrt{(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2} - \sqrt{(\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})^2}$.

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}| - |\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}|$.

Рассмотрим условие $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Разделив это двойное неравенство на 2, получим $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. В этом интервале (первая координатная четверть) значения $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$ положительны. Следовательно, их сумма $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$ также положительна.

Также для углов в интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ справедливо неравенство $\cos\frac{\alpha}{2} > \sin\frac{\alpha}{2}$, поэтому разность $\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}$ является положительным числом.

Это позволяет нам раскрыть знаки модуля:

$|\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}| = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$.

$|\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}| = \cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}$.

Подставим полученные выражения обратно и выполним упрощение:

$(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) - (\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}$.

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

1073. Упростить выражение $ \frac{\operatorname{tg} 2 \alpha}{\operatorname{tg} 4 \alpha - \operatorname{tg} 2 \alpha} $

Для упрощения данного выражения представим тангенсы через синусы и косинусы, а затем выполним преобразования.

Исходное выражение:

$$ \frac{\tg(2\alpha)}{\tg(4\alpha) - \tg(2\alpha)} $$

Заменим тангенсы в знаменателе, используя определение $ \tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $:

$$ \tg(4\alpha) - \tg(2\alpha) = \frac{\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} - \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $ \cos(4\alpha)\cos(2\alpha) $:

$$ \frac{\sin(4\alpha)\cos(2\alpha) - \cos(4\alpha)\sin(2\alpha)}{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)} $$

В числителе полученной дроби находится формула синуса разности углов: $ \sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) $. Применим ее для $ A = 4\alpha $ и $ B = 2\alpha $:

$$ \sin(4\alpha - 2\alpha) = \sin(2\alpha) $$

Таким образом, знаменатель исходного выражения преобразуется к виду:

$$ \tg(4\alpha) - \tg(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)} $$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$ \frac{\tg(2\alpha)}{\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)}} $$

Теперь заменим $ \tg(2\alpha) $ в числителе на $ \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $:

$$ \frac{\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}}{\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)}} $$

Чтобы разделить дроби, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$$ \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \cdot \frac{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $$

Сократим одинаковые множители $ \sin(2\alpha) $ и $ \cos(2\alpha) $ (при условии, что они не равны нулю, что следует из области определения исходного выражения):

$$ \frac{\cancel{\sin(2\alpha)}}{\cancel{\cos(2\alpha)}} \cdot \frac{\cos(4\alpha)\cancel{\cos(2\alpha)}}{\cancel{\sin(2\alpha)}} = \cos(4\alpha) $$

В результате упрощения получаем $ \cos(4\alpha) $.

Ответ: $ \cos(4\alpha) $

1074. Решить уравнение:

1) $1 - \cos x = 2\sin\frac{x}{2};$

2) $1 + \cos x = 2\cos\frac{x}{2};$

3) $1 + \cos\frac{x}{2} = 2\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{3\pi}{2}\right);$

4) $1 + \cos 8x = 2\cos 4x;$

5) $2\sin^2\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x = 1;$

6) $2\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 4x = 1.$

1) $1 - \cos x = 2\sin\frac{x}{2}$
Используем формулу понижения степени (или формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $): $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$2\sin^2\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}$
Перенесем все в левую часть и разделим на 2:
$\sin^2\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $\sin\frac{x}{2}$ за скобки:
$\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2} - 1\right) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
а) $\sin\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi k$
б) $\sin\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \sin\frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 4\pi n$
Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \pi + 4\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \cos x = 2\cos\frac{x}{2}$
Используем формулу понижения степени (или формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $): $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$2\cos^2\frac{x}{2} = 2\cos\frac{x}{2}$
Перенесем все в левую часть и разделим на 2:
$\cos^2\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $\cos\frac{x}{2}$ за скобки:
$\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - 1\right) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
а) $\cos\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi k$
б) $\cos\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \cos\frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = 4\pi n$
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad x = 4\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $1 + \cos\frac{x}{2} = 2\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{3\pi}{2}\right)$
Преобразуем левую часть по формуле $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$:
$1 + \cos\frac{x}{2} = 2\cos^2\frac{x}{8}$ (опечатка в условии, вероятно должно быть $1+\cos x$). Предположим, что в условии опечатки нет и решаем как есть. Тогда левая часть равна $1 + \cos\frac{x}{2} = 2\cos^2\frac{x}{4}$.
Преобразуем правую часть, используя формулу приведения: $\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2} - 2\pi) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha$.
Следовательно, $2\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{3\pi}{2}\right) = 2\cos\frac{x}{4}$.
Уравнение принимает вид:
$2\cos^2\frac{x}{4} = 2\cos\frac{x}{4}$
Это уравнение аналогично предыдущему. Разделим на 2 и перенесем все влево:
$\cos^2\frac{x}{4} - \cos\frac{x}{4} = 0$
$\cos\frac{x}{4}\left(\cos\frac{x}{4} - 1\right) = 0$
а) $\cos\frac{x}{4} = 0$
$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos\frac{x}{4} = 1$
$\frac{x}{4} = 2\pi n \implies x = 8\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = 2\pi + 4\pi k, \quad x = 8\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $1 + \cos 8x = 2\cos 4x$
Используем формулу $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$. Пусть $2\alpha = 8x$, тогда $\alpha = 4x$.
$2\cos^2(4x) = 2\cos(4x)$
$\cos^2(4x) - \cos(4x) = 0$
$\cos(4x)(\cos(4x) - 1) = 0$
а) $\cos(4x) = 0$
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos(4x) = 1$
$4x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad x = \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $2\sin^2\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x = 1$
Используем формулу $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$. Для $\alpha = \frac{x}{2}$ получаем $2\sin^2\frac{x}{2} = 1 - \cos x$.
Подставим в уравнение:
$(1 - \cos x) + \frac{1}{2}\sin 2x = 1$
$-\cos x + \frac{1}{2}\sin 2x = 0$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$-\cos x + \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) = 0$
$-\cos x + \sin x \cos x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки:
$\cos x(-\1 + \sin x) = 0$
а) $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $-1 + \sin x = 0 \implies \sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, при четных $k=2n$). Поэтому достаточно указать только первую серию решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

6) $2\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 4x = 1$
Используем формулу $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$. Для $\alpha = x$ получаем $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$.
Подставим в уравнение:
$(1 + \cos 2x) - \frac{1}{2}\sin 4x = 1$
$\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 4x = 0$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\alpha = 2x$ получаем $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:
$\cos 2x - \frac{1}{2}(2\sin 2x \cos 2x) = 0$
$\cos 2x - \sin 2x \cos 2x = 0$
Вынесем $\cos 2x$ за скобки:
$\cos 2x(1 - \sin 2x) = 0$
а) $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $1 - \sin 2x = 0 \implies \sin 2x = 1$
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{4} + \pi n$) является подмножеством первой ($x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, при четных $k=2n$). Поэтому достаточно указать только первую серию.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

1075. Выяснить, существует ли такой угол α, что:

1) $ \cos^2 \alpha - \cos^2 25^\circ = \cos^2(45^\circ - \alpha) - \frac{1}{2}\sin2\alpha; $

2) $ \sin^2 \left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin\alpha = \cos^2 \frac{2\alpha}{4} + \cos130^\circ. $

1) Чтобы выяснить, существует ли такой угол $\alpha$, преобразуем обе части уравнения, используя тригонометрические формулы.

Воспользуемся формулой понижения степени $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$cos^2\alpha - cos^2 25^\circ = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2} - \frac{1 + cos(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{1 + cos(2\alpha) - 1 - cos(50^\circ)}{2} = \frac{cos(2\alpha) - cos(50^\circ)}{2}$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

$cos^2(45^\circ - \alpha) - \frac{1}{2}sin(2\alpha) = \frac{1 + cos(2(45^\circ - \alpha))}{2} - \frac{1}{2}sin(2\alpha) = \frac{1 + cos(90^\circ - 2\alpha)}{2} - \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

Применим формулу приведения $cos(90^\circ - \beta) = sin(\beta)$:

$\frac{1 + sin(2\alpha)}{2} - \frac{1}{2}sin(2\alpha) = \frac{1 + sin(2\alpha) - sin(2\alpha)}{2} = \frac{1}{2}$.

Приравняем преобразованные левую и правую части:

$\frac{cos(2\alpha) - cos(50^\circ)}{2} = \frac{1}{2}$.

Умножим обе части на 2 и выразим $cos(2\alpha)$:

$cos(2\alpha) - cos(50^\circ) = 1$

$cos(2\alpha) = 1 + cos(50^\circ)$.

Проанализируем полученное равенство. Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $cos(2\alpha) \le 1$ для любого действительного значения $\alpha$.

Рассмотрим правую часть. Угол $50^\circ$ находится в первой четверти, поэтому его косинус положителен: $cos(50^\circ) > 0$. Следовательно, $1 + cos(50^\circ) > 1$.

Получается, что левая часть уравнения ($cos(2\alpha)$) не может быть больше 1, а правая часть ($1 + cos(50^\circ)$) строго больше 1. Равенство невозможно ни при каком значении $\alpha$.

Ответ: не существует.

2) Преобразуем обе части данного уравнения, используя формулы понижения степени $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$ и $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Преобразуем левую часть:

$sin^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2}sin\alpha = \frac{1 - cos(2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}))}{2} + \frac{1}{2}sin\alpha = \frac{1 - cos(90^\circ - \alpha)}{2} + \frac{1}{2}sin\alpha$.

Используя формулу приведения $cos(90^\circ - \alpha) = sin\alpha$, левая часть упрощается:

$\frac{1 - sin\alpha}{2} + \frac{1}{2}sin\alpha = \frac{1 - sin\alpha + sin\alpha}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь преобразуем правую часть:

$cos^2\frac{\alpha}{4} + cos130^\circ = \frac{1 + cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4})}{2} + cos130^\circ = \frac{1 + cos(\frac{\alpha}{2})}{2} + cos130^\circ$.

Приравняем полученные выражения для левой и правой частей:

$\frac{1}{2} = \frac{1 + cos(\frac{\alpha}{2})}{2} + cos130^\circ$.

Умножим все члены уравнения на 2:

$1 = 1 + cos(\frac{\alpha}{2}) + 2cos130^\circ$.

Упростим уравнение:

$0 = cos(\frac{\alpha}{2}) + 2cos130^\circ$

$cos(\frac{\alpha}{2}) = -2cos130^\circ$.

Используем формулу приведения $cos130^\circ = cos(180^\circ - 50^\circ) = -cos50^\circ$. Подставим это в уравнение:

$cos(\frac{\alpha}{2}) = -2(-cos50^\circ) = 2cos50^\circ$.

Оценим значение выражения в правой части. Известно, что $cos60^\circ = 0.5$. Так как функция $y=cos(x)$ является убывающей на отрезке $[0^\circ, 180^\circ]$, а $50^\circ < 60^\circ$, то $cos50^\circ > cos60^\circ = 0.5$.

Отсюда следует, что $2cos50^\circ > 2 \cdot 0.5 = 1$.

Мы получили уравнение $cos(\frac{\alpha}{2}) = 2cos50^\circ$, в котором левая часть не может превышать 1 (так как область значений косинуса $[-1, 1]$), а правая часть строго больше 1. Такое равенство невозможно.

Ответ: не существует.

1076. Доказать тождество:

1) $ \frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\sin 2\alpha + 2\sin \alpha \cos 2\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha; $

2) $ \frac{1 - \sin \alpha - \cos 2\alpha + \sin 3\alpha}{\sin 2\alpha + 2\cos \alpha \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha. $

1) Докажем тождество $ \frac{1 + \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha}{\sin2\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha $, преобразовав его левую часть.

Сначала преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $ (1 + \cos2\alpha) + (\cos\alpha + \cos3\alpha) $.

Используя формулу косинуса двойного угла $ 1 + \cos2x = 2\cos^2x $, получаем $ 1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha $.

Используя формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $, получаем $ \cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha $.

Таким образом, числитель можно записать в виде: $ 2\cos^2\alpha + 2\cos2\alpha\cos\alpha $. Вынесем общий множитель $ 2\cos\alpha $ за скобки: $ 2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha) $.

Теперь преобразуем знаменатель: $ \sin2\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha $.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Знаменатель можно записать в виде: $ 2\sin\alpha\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha $. Вынесем общий множитель $ 2\sin\alpha $ за скобки: $ 2\sin\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha)}{2\sin\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha)} $

Сократив дробь на общий множитель $ 2(\cos\alpha + \cos2\alpha) $ (при условии, что он не равен нулю), получаем:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{1 - \sin\alpha - \cos2\alpha + \sin3\alpha}{\sin2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha} = \operatorname{tg}\alpha $, преобразовав его левую часть.

Сначала преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $ (1 - \cos2\alpha) + (\sin3\alpha - \sin\alpha) $.

Используя формулу косинуса двойного угла $ 1 - \cos2x = 2\sin^2x $, получаем $ 1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha $.

Используя формулу разности синусов $ \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $, получаем $ \sin3\alpha - \sin\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\sin\alpha $.

Таким образом, числитель можно записать в виде: $ 2\sin^2\alpha + 2\cos2\alpha\sin\alpha $. Вынесем общий множитель $ 2\sin\alpha $ за скобки: $ 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos2\alpha) $.

Теперь преобразуем знаменатель: $ \sin2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha $.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Знаменатель можно записать в виде: $ 2\sin\alpha\cos\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha $. Вынесем общий множитель $ 2\cos\alpha $ за скобки: $ 2\cos\alpha(\sin\alpha + \cos2\alpha) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos2\alpha)}{2\cos\alpha(\sin\alpha + \cos2\alpha)} $

Сократив дробь на общий множитель $ 2(\sin\alpha + \cos2\alpha) $ (при условии, что он не равен нулю), получаем:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.