Номер 1072, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1072. Доказать, что если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то

$\sqrt{1 + \sin\alpha} - \sqrt{1 - \sin\alpha} = 2\sin\frac{\alpha}{2}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $\sqrt{1 + \sin\alpha} - \sqrt{1 - \sin\alpha}$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2x + \cos^2x$ и формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Применив эти формулы для аргумента $\frac{\alpha}{2}$, получим: $1 = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}$ и $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.

Подставим эти выражения в подкоренные выражения в левой части доказываемого равенства. Для первого слагаемого:

$1 + \sin\alpha = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = (\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2$.

Для второго слагаемого:

$1 - \sin\alpha = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = (\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$\sqrt{(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2} - \sqrt{(\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})^2}$.

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}| - |\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}|$.

Рассмотрим условие $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Разделив это двойное неравенство на 2, получим $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. В этом интервале (первая координатная четверть) значения $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$ положительны. Следовательно, их сумма $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$ также положительна.

Также для углов в интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ справедливо неравенство $\cos\frac{\alpha}{2} > \sin\frac{\alpha}{2}$, поэтому разность $\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}$ является положительным числом.

Это позволяет нам раскрыть знаки модуля:

$|\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}| = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$.

$|\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}| = \cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}$.

Подставим полученные выражения обратно и выполним упрощение:

$(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) - (\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}$.

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.