Номер 1070, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1070. 1) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1;$

2) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

3) $\frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha};$

4) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right).$

1) Требуется доказать тождество: $\frac{1 - \cos{2\alpha}}{\sin{2\alpha}} \cdot \ctg{\alpha} = 1$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла и определение котангенса.

Применим формулы синуса и косинуса двойного угла:

$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

$1 - \cos{2\alpha} = 1 - (1 - 2\sin^2{\alpha}) = 2\sin^2{\alpha}$

А также определение котангенса:

$\ctg{\alpha} = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Подставим эти выражения в левую часть исходного тождества:

$\frac{2\sin^2{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} \cdot \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Сократим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\sin^2{\alpha} \cdot \cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \cdot \sin{\alpha}} = \frac{2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}} = 1$

Левая часть равна правой, тождество доказано. Тождество справедливо при условии, что знаменатели не равны нулю, т.е. $\sin{2\alpha} \neq 0$ и $\sin{\alpha} \neq 0$, что эквивалентно $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Требуется доказать тождество: $\frac{\sin{2\alpha}}{1 + \cos{2\alpha}} = \tg{\alpha}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла.

Применим формулы синуса и косинуса двойного угла:

$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

$1 + \cos{2\alpha} = 1 + (2\cos^2{\alpha} - 1) = 2\cos^2{\alpha}$

Подставим эти выражения в левую часть:

$\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}}$

Сократим дробь на $2\cos{\alpha}$ (при условии $\cos{\alpha} \neq 0$):

$\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \tg{\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано. Тождество справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю: $1 + \cos{2\alpha} \neq 0$, что эквивалентно $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Требуется доказать тождество: $\frac{1 - 2\sin^2{\alpha}}{1 + \sin{2\alpha}} = \frac{1 - \tg{\alpha}}{1 + \tg{\alpha}}$.

Преобразуем левую часть равенства.

Числитель $1 - 2\sin^2{\alpha}$ по формуле косинуса двойного угла равен $\cos{2\alpha}$.

Знаменатель $1 + \sin{2\alpha}$ преобразуем, используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}$ и формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$:

$1 + \sin{2\alpha} = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} + 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = (\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в левую часть:

$\frac{\cos{2\alpha}}{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}$

Применим для числителя еще одну формулу косинуса двойного угла: $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = (\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})$.

$\frac{(\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})}{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2} = \frac{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}{\cos{\alpha} + \sin{\alpha}}$

Чтобы получить тангенсы, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos{\alpha}$ (при условии $\cos{\alpha} \neq 0$):

$\frac{\frac{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}}{\frac{\cos{\alpha} + \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}} = \frac{\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}} - \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}}{\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}} + \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}} = \frac{1 - \tg{\alpha}}{1 + \tg{\alpha}}$

Левая часть равна правой, тождество доказано. Тождество справедливо при $\cos{\alpha} \neq 0$ и $1+\sin{2\alpha} \neq 0$.

Ответ: Тождество доказано.

4) Требуется доказать тождество: $\frac{1 + \sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} = \tg(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Преобразуем обе части равенства.

Начнем с правой части, используя формулу тангенса суммы: $\tg(A+B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B}$.

$\tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\alpha}{1 - \tg\frac{\pi}{4}\tg\alpha}$

Так как $\tg\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$\frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$

Теперь преобразуем левую часть. Как и в предыдущем задании, используем преобразования:

$1 + \sin{2\alpha} = (\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2$

$\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = (\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})$

Подставим в левую часть:

$\frac{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}{(\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})} = \frac{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}$

Разделим числитель и знаменатель на $\cos{\alpha}$ (при условии $\cos{\alpha} \neq 0$):

$\frac{\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} + \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}}}{\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}} - \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}} = \frac{\tg{\alpha} + 1}{1 - \tg{\alpha}}$

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению. Следовательно, тождество доказано. Тождество справедливо при $\cos{2\alpha} \neq 0$ и $\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha) \neq 0$.

Ответ: Тождество доказано.