Номер 1068, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1068. Упростить выражение:

1) $\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$;

2) $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$;

3) $\frac{1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha}{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}$;

4) $\frac{1 + \cos4\alpha}{\sin4\alpha}$;

5) $\frac{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$;

6) $(1 - \cos2\alpha)\text{ctg}\alpha$.

1) Для упрощения выражения $\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ воспользуемся формулами половинного угла:

$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$

Сократим общие множители $2\sin\frac{\alpha}{2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}$

Ответ: $\tan\frac{\alpha}{2}$.

2) Для упрощения выражения $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$ воспользуемся формулами половинного угла:

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

$1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}$

Сократим общие множители $2\cos\frac{\alpha}{2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}$

Ответ: $\tan\frac{\alpha}{2}$.

3) Для упрощения выражения $\frac{1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha}{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}$ воспользуемся формулами двойного угла:

$1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$

$1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель:

$\frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$

Сократим общие множители $2(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$.

4) Для упрощения выражения $\frac{1 + \cos4\alpha}{\sin4\alpha}$ воспользуемся формулами двойного угла для аргумента $2\alpha$:

$1 + \cos4\alpha = 1 + \cos(2 \cdot 2\alpha) = 2\cos^2(2\alpha)$

$\sin4\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{1 + \cos4\alpha}{\sin4\alpha} = \frac{2\cos^2(2\alpha)}{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$

Сократим общие множители $2\cos(2\alpha)$:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \cot(2\alpha)$

Ответ: $\cot(2\alpha)$.

5) Для упрощения выражения $\frac{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$ преобразуем числитель с помощью формул двойного угла:

$1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Числитель примет вид:

$1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha = 2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$

Подставим преобразованный числитель в исходное выражение:

$\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Сократим общий множитель $(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$2\cos\alpha$

Ответ: $2\cos\alpha$.

6) Для упрощения выражения $(1 - \cos2\alpha)\ctg\alpha$ воспользуемся формулой двойного угла и определением котангенса:

$1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$

$\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$(2\sin^2\alpha) \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Сократим на $\sin\alpha$:

$2\sin\alpha\cos\alpha$

Полученное выражение является формулой синуса двойного угла:

$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$

Ответ: $\sin2\alpha$.