Номер 1061, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1061. Доказать тождество:

1) $\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{2\pi}{5} = 0,25$;

2) $8\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$;

3) $16 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = 1$;

4) $\operatorname{tg}\alpha + 2\operatorname{tg}2\alpha + 4\operatorname{tg}4\alpha + 8\operatorname{tg}8\alpha + 16\operatorname{tg}16\alpha + 32\operatorname{ctg}32\alpha = \operatorname{ctg}\alpha$;

5) $\frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$;

6) $\sin3\alpha \sin^3\alpha + \cos3\alpha \cdot \cos^3\alpha = \cos^3 2\alpha.$

1)

Докажем тождество: $ \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} = 0,25 $.

Преобразуем левую часть (Л.Ч.) равенства. Умножим и разделим выражение на $ 2\sin\frac{\pi}{5} $ (это возможно, так как $ \sin\frac{\pi}{5} \neq 0 $):

$ \text{Л.Ч.} = \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} $

Применим ту же формулу еще раз, умножив числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} $

Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin\frac{4\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = \sin\frac{\pi}{5} $

Подставляем это обратно в выражение:

$ \frac{\sin\frac{\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{1}{4} = 0,25 $

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} = 0,25 $, что и требовалось доказать.

2)

Докажем тождество: $ 8\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ $.

Преобразуем левую часть (Л.Ч.). Умножим и разделим ее на $ \sin 10^\circ $ (где $ \sin 10^\circ \neq 0 $):

$ \text{Л.Ч.} = \frac{8\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha) $:

$ \frac{4 \cdot (2\sin 10^\circ \cos 10^\circ) \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $

$ = \frac{2 \cdot (2\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $

$ = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} $

Используем формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $:

$ \sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ $

Подставляем и получаем:

$ \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ 8\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ $, что и требовалось доказать.

3)

Докажем тождество: $ 16 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = 1 $.

Преобразуем левую часть (Л.Ч.). Мы знаем, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $. Подставим это значение:

$ \text{Л.Ч.} = 16 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 80^\circ = 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ $

Умножим и разделим выражение на $ \sin 20^\circ $:

$ \frac{8\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} $

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha) $:

$ = \frac{4 \cdot (2\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} $

$ = \frac{2 \cdot (2\sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} $

$ = \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} $

Используем формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $

Подставляем обратно:

$ \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 1 $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ 16 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = 1 $, что и требовалось доказать.

4)

Докажем тождество: $ \operatorname{tg} \alpha + 2\operatorname{tg} 2\alpha + 4\operatorname{tg} 4\alpha + 8\operatorname{tg} 8\alpha + 16\operatorname{tg} 16\alpha + 32\operatorname{ctg} 32\alpha = \operatorname{ctg} \alpha $.

Для доказательства воспользуемся вспомогательной формулой, связывающей тангенс и котангенс: $ \operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\operatorname{ctg}(2x) $.

Отсюда следует, что $ \operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} x - 2\operatorname{ctg}(2x) $, или $ 2\operatorname{ctg}(2x) = \operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x $.

Начнем преобразование левой части (Л.Ч.) с последних двух слагаемых, используя выведенную формулу для $ x=16\alpha $:

$ 16\operatorname{tg} 16\alpha + 32\operatorname{ctg} 32\alpha = 16\operatorname{tg} 16\alpha + 16(2\operatorname{ctg}(2 \cdot 16\alpha)) = 16\operatorname{tg} 16\alpha + 16(\operatorname{ctg} 16\alpha - \operatorname{tg} 16\alpha) = 16\operatorname{ctg} 16\alpha $.

Теперь выражение для Л.Ч. выглядит так: $ \operatorname{tg} \alpha + ... + 8\operatorname{tg} 8\alpha + 16\operatorname{ctg} 16\alpha $. Сгруппируем следующие два слагаемых, для $ x=8\alpha $:

$ 8\operatorname{tg} 8\alpha + 16\operatorname{ctg} 16\alpha = 8\operatorname{tg} 8\alpha + 8(2\operatorname{ctg}(2 \cdot 8\alpha)) = 8\operatorname{tg} 8\alpha + 8(\operatorname{ctg} 8\alpha - \operatorname{tg} 8\alpha) = 8\operatorname{ctg} 8\alpha $.

Продолжая этот процесс (сворачивая сумму справа налево), мы последовательно получим:

$ 4\operatorname{tg} 4\alpha + 8\operatorname{ctg} 8\alpha = 4\operatorname{ctg} 4\alpha $

$ 2\operatorname{tg} 2\alpha + 4\operatorname{ctg} 4\alpha = 2\operatorname{ctg} 2\alpha $

В итоге левая часть сводится к:

$ \operatorname{tg} \alpha + 2\operatorname{ctg} 2\alpha = \operatorname{tg} \alpha + (\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha) = \operatorname{ctg} \alpha $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha + 2\operatorname{tg} 2\alpha + 4\operatorname{tg} 4\alpha + 8\operatorname{tg} 8\alpha + 16\operatorname{tg} 16\alpha + 32\operatorname{ctg} 32\alpha = \operatorname{ctg} \alpha $, что и требовалось доказать.

5)

Докажем тождество: $ \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Преобразуем правую часть (П.Ч.) тождества. Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:

$ \text{П.Ч.} = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sin\alpha \cos(\alpha/2) - \cos\alpha \sin(\alpha/2)}{\cos\alpha \cos(\alpha/2)} $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $:

$ \frac{\sin(\alpha - \alpha/2)}{\cos\alpha \cos(\alpha/2)} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos\alpha \cos(\alpha/2)} $

Перегруппируем множители:

$ \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}(\alpha/2)}{\cos\alpha} $

Правая часть равна левой. Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} $, что и требовалось доказать.

6)

Докажем тождество: $ \sin 3\alpha \sin^3 \alpha + \cos 3\alpha \cos^3 \alpha = \cos^3 2\alpha $.

Преобразуем левую часть (Л.Ч.). Используем формулы тройного угла:

$ \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $

$ \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha $

Подставим эти выражения в левую часть:

$ \text{Л.Ч.} = (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)\sin^3\alpha + (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha)\cos^3\alpha $

Раскроем скобки:

$ = 3\sin^4\alpha - 4\sin^6\alpha + 4\cos^6\alpha - 3\cos^4\alpha $

Сгруппируем слагаемые:

$ = 4(\cos^6\alpha - \sin^6\alpha) - 3(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha) $

Разложим на множители выражения в скобках. Для первого используем разность квадратов:

$ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha $

Для второго используем разность кубов $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ \cos^6\alpha - \sin^6\alpha = (\cos^2\alpha)^3 - (\sin^2\alpha)^3 = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^4\alpha + \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) $

$ = \cos 2\alpha \cdot ((\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\sin^2\alpha) $

$ = \cos 2\alpha \cdot (1 - \cos^2\alpha\sin^2\alpha) = \cos 2\alpha \cdot (1 - \frac{1}{4}(2\sin\alpha\cos\alpha)^2) = \cos 2\alpha \cdot (1 - \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha) $

Подставим полученные выражения обратно в левую часть:

$ \text{Л.Ч.} = 4\cos 2\alpha (1 - \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha) - 3\cos 2\alpha $

Вынесем $ \cos 2\alpha $ за скобки:

$ = \cos 2\alpha \cdot [4(1 - \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha) - 3] = \cos 2\alpha \cdot (4 - \sin^2 2\alpha - 3) $

$ = \cos 2\alpha \cdot (1 - \sin^2 2\alpha) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $:

$ = \cos 2\alpha \cdot \cos^2 2\alpha = \cos^3 2\alpha $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \sin 3\alpha \sin^3 \alpha + \cos 3\alpha \cos^3 \alpha = \cos^3 2\alpha $, что и требовалось доказать.