Номер 1058, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1058. Доказать тождество

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha(1+\operatorname{ctg}\alpha)} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\operatorname{tg}\alpha)} = \frac{2\sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin2\alpha}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ) до тех пор, пока она не станет равна правой части (ПЧ).

Левая часть тождества:

$$ \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha(1 + \text{ctg}\alpha)} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha(1 + \text{tg}\alpha)} $$

Сначала преобразуем знаменатели дробей, используя определения тангенса и котангенса: $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

Для первой дроби:

$$ \cos\alpha(1 + \text{ctg}\alpha) = \cos\alpha(1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) = \cos\alpha(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}) = \frac{\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha} $$

Для второй дроби:

$$ \sin\alpha(1 + \text{tg}\alpha) = \sin\alpha(1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}) = \sin\alpha(\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}) = \frac{\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos\alpha} $$

Подставим упрощенные знаменатели обратно в выражение:

$$ \frac{\sin^2\alpha}{\frac{\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha}} - \frac{\cos^2\alpha}{\frac{\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos\alpha}} $$

Перевернем дроби в знаменателях:

$$ \frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} - \frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Приведем к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) $:

$$ \frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Разложим числитель как разность квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = \sin^2\alpha $ и $ b = \cos^2\alpha $:

$$ \frac{(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, упростим числитель:

$$ \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Снова применим формулу разности квадратов к числителю:

$$ \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Сократим общий множитель $ (\sin\alpha + \cos\alpha) $ в числителе и знаменателе (это допустимо, так как в области определения исходного выражения $ \sin\alpha + \cos\alpha \neq 0 $):

$$ \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, из которой следует, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2} $:

$$ \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2(\sin\alpha - \cos\alpha)}{\sin(2\alpha)} $$

Для завершения доказательства преобразуем выражение в числителе $ \sin\alpha - \cos\alpha $. Вынесем за скобки $ \sqrt{2} $:

$$ \sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha \right) $$

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, заменим коэффициенты:

$$ \sqrt{2} \left( \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4} \right) $$

По формуле синуса разности $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ получаем:

$$ \sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $$

Подставим это преобразование обратно в наше выражение:

$$ \frac{2 \left( \sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \right)}{\sin(2\alpha)} = \frac{2\sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin(2\alpha)} $$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.