Номер 1055, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1055. Доказать тождество:

1) $\sin 2\alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1$;

2) $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha$;

3) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha$;

4) $2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1$.

1) Докажем тождество $\sin(2\alpha) = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1$.

Для этого преобразуем правую часть выражения. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - 1$.

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1$.

Упростив выражение, получаем:

$2\sin\alpha\cos\alpha$.

Согласно формуле синуса двойного угла, $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.

Таким образом, мы преобразовали правую часть равенства к левой: $\sin(2\alpha) = \sin(2\alpha)$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - \sin(2\alpha)$.

Преобразуем левую часть выражения. Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, заменим выражение $2\sin\alpha\cos\alpha$:

$1 - \sin(2\alpha)$.

Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos(2\alpha)$.

Преобразуем левую часть. Представим ее как разность квадратов, используя формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2 = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$.

Выражение во второй скобке, согласно основному тригонометрическому тождеству, равно единице: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Выражение в первой скобке является формулой косинуса двойного угла: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Подставим полученные значения обратно в преобразованное выражение:

$(\cos(2\alpha)) \cdot 1 = \cos(2\alpha)$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $2\cos^2\alpha - \cos(2\alpha) = 1$.

Преобразуем левую часть выражения. Для этого используем одну из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим эту формулу в левую часть исходного тождества:

$2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.