Номер 1050, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1050. Вычислить $ \sin2\alpha $, если:

1) $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

2) $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

1) Для вычисления $sin(2\alpha)$ используется формула синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.
По условию нам дано $sin\alpha = \frac{3}{5}$. Чтобы найти $sin(2\alpha)$, нам необходимо сначала вычислить $cos\alpha$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $cos^2\alpha$:
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$.
Подставим известное значение $sin\alpha$:
$cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
В условии сказано, что угол $\alpha$ находится в промежутке $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти косинус имеет отрицательное значение, следовательно, мы выбираем $cos\alpha = -\frac{4}{5}$.
Теперь можем найти $sin(2\alpha)$:
$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{24}{25}$.
Ответ: $-\frac{24}{25}$.

2) Аналогично первому пункту, используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.
Нам известно, что $cos\alpha = -\frac{4}{5}$. Найдем значение $sin\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ выразим $sin^2\alpha$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.
Подставим известное значение $cos\alpha$:
$sin^2\alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
Отсюда $sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
По условию, угол $\alpha$ находится в промежутке $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти синус имеет отрицательное значение, поэтому мы выбираем $sin\alpha = -\frac{3}{5}$.
Теперь вычислим $sin(2\alpha)$:
$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin\alpha \cdot cos\alpha = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$.