Номер 1043, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1043. Доказать, что если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$ и $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$, то:

1) $(1 + \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \beta) = 2;

2) $(1 - \operatorname{ctg} \alpha)(1 - \operatorname{ctg} \beta) = 2.$

1) Доказать, что $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\beta) = 2$

По условию задачи нам дано, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$. Возьмем тангенс от обеих частей этого равенства. $\text{tg}(\alpha + \beta) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Мы знаем, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Используя формулу тангенса суммы $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$, получаем: $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} = 1$.

Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, то $0 < \text{tg}\alpha < 1$ и $0 < \text{tg}\beta < 1$. Следовательно, произведение $\text{tg}\alpha\text{tg}\beta \neq 1$, и знаменатель не равен нулю. Мы можем умножить обе части уравнения на знаменатель: $\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = 1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta$.

Перенесем $\text{tg}\alpha\text{tg}\beta$ в левую часть: $\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta = 1$.

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства и раскроем скобки: $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\beta) = 1 + \text{tg}\beta + \text{tg}\alpha + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta = 1 + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta)$.

Подставим в это выражение полученное ранее значение для выражения в скобках: $1 + (1) = 2$.

Таким образом, мы доказали, что $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\beta) = 2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что $(1 - \text{ctg}\alpha)(1 - \text{ctg}\beta) = 2$

Снова используем условие $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$. Возьмем котангенс от обеих частей равенства. $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Мы знаем, что $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Используя формулу котангенса суммы $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$, получаем: $\frac{\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} = 1$.

Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, то $\text{ctg}\alpha > 1$ и $\text{ctg}\beta > 1$. Знаменатель $\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta$ положителен и не равен нулю. Умножим обе части уравнения на него: $\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1 = \text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta$.

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства и раскроем скобки: $(1 - \text{ctg}\alpha)(1 - \text{ctg}\beta) = 1 - \text{ctg}\beta - \text{ctg}\alpha + \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta = 1 - (\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta) + \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta$.

Подставим в это выражение полученное ранее равенство для суммы котангенсов $\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta$: $1 - (\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1) + \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $1 - \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta + 1 + \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta = 2$.

Таким образом, мы доказали, что $(1 - \text{ctg}\alpha)(1 - \text{ctg}\beta) = 2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.