Номер 1038, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (1038–1039).

1038.

$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}$

1038.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)} $$

Шаг 1: Раскроем каждое слагаемое в числителе и знаменателе, используя формулы сложения аргументов:

$ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

$ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $

Применим эти формулы:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha $

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha $

Шаг 2: Подставим табличные значения тригонометрических функций для углов $ \frac{\pi}{6} $ и $ \frac{\pi}{3} $:

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

В результате получаем:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $

Шаг 3: Подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби и выполним упрощение.

Преобразуем числитель:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = $

$ = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) + \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = $

$ = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha = \cos\alpha $

Шаг 4: Запишем полученную дробь и упростим ее, используя определение тангенса $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

$$ \frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{3}\tan\alpha $$

Ответ: $ \sqrt{3}\tan\alpha $.